Тригонометрическая формула Виета

Тригонометрическая формула Виета — один из способов решения кубического уравнения $x^{3}+ax^{2}+bx+c=0$

Первым решение этого уравнения нашел Никколо Тарталья, Джероламо Кардано опубликовал его решение в 1545 году под своим именем (см. формула Кардано). Однако формула Виета более удобна для практического применения^{[уточнить]}, ибо позволяет обойтись без мнимых величин.

Формула

• Вычисляем $Q={\frac {a^{2}-3b}{9}}$
• Вычисляем $R={\frac {2a^{3}-9ab+27c}{54}}$
• Вычисляем $S=Q^{3}-R^{2}$
• Если $S>0$, то вычисляем $\phi ={\frac {1}{3}}\arccos \left({\frac {R}{\sqrt {Q^{3}}}}\right)$ и имеем три действительных корня:

  $x_{1}=-2{\sqrt {Q}}\cos(\phi )-{\frac {a}{3}}$

  $x_{2,3}=-2{\sqrt {Q}}\cos \left(\phi \pm {\frac {2}{3}}\pi \right)-{\frac {a}{3}}$

• Если $S<0$, то заменяем тригонометрические функции гиперболическими. Здесь возможны следующие случаи в зависимости от знака $Q$:
  • $Q>0$:

    $\phi ={\frac {1}{3}}\,\operatorname {Arch} \left({\frac {|R|}{\sqrt {Q^{3}}}}\right)$

    $x_{1}=-2\operatorname {sgn}(R){\sqrt {Q}}\,\operatorname {ch} (\phi )-{\frac {a}{3}}$ (действительный корень)

    $x_{2,3}=\operatorname {sgn}(R){\sqrt {Q}}\,\operatorname {ch} (\phi )-{\frac {a}{3}}\pm i{\sqrt {3}}{\sqrt {Q}}\,\operatorname {sh} (\phi )$ (пара комплексных корней)

  • $Q<0$:

    $\phi ={\frac {1}{3}}\,\operatorname {Arsh} \left({\frac {|R|}{\sqrt {|Q|^{3}}}}\right)$

    $x_{1}=-2\operatorname {sgn}(R){\sqrt {|Q|}}\,\operatorname {sh} (\phi )-{\frac {a}{3}}$ (действительный корень)

    $x_{2,3}=\operatorname {sgn}(R){\sqrt {|Q|}}\,\operatorname {sh} (\phi )-{\frac {a}{3}}\pm i{\sqrt {3}}{\sqrt {|Q|}}\,\operatorname {ch} (\phi )$ (пара комплексных корней)

  • $Q=0$:

  $x_{1}=-{\sqrt[{3}]{c-{\frac {a^{3}}{27}}}}-{\frac {a}{3}}$ (действительный корень)

  $x_{2,3}=-{\frac {a+x_{1}}{2}}\pm {\frac {i}{2}}{\sqrt {|(a-3x_{1})(a+x_{1})-4b|}}$ (пара комплексных корней)

• Если $S=0$, то уравнение вырождено и имеет меньше 3 различных решений (второй корень кратности 2):

  $x_{1}=-2\operatorname {sgn}(R){\sqrt {Q}}-{\frac {a}{3}}=-2{\sqrt[{3}]{R}}-{\frac {a}{3}}$

  $x_{2}=\operatorname {sgn}(R){\sqrt {Q}}-{\frac {a}{3}}={\sqrt[{3}]{R}}-{\frac {a}{3}}$

Вывод формулы

• Исходный многочлен имеет вид $P(x_{1})=x_{1}^{3}+a\cdot x_{1}^{2}+b\cdot x_{1}+c$.

• Подстановкой $x_{1}=x-{\frac {a}{3}}$ приводим многочлен к виду $Q(x)=x^{3}+p\cdot x+q$, где $p=b-{\frac {a^{2}}{3}}$ и $q={\frac {2a^{3}}{27}}-{\frac {ab}{3}}+c$.

• Ищем решение уравнения $Q(x)=x^{3}+p\cdot x+q=0$ в виде $x=A\cdot \cos \varphi$, получаем уравнение $A^{3}\cdot \cos ^{3}\varphi +Ap\cdot \cos \varphi =-q$.

• Заметим что в случае $p<0$ при $A={\sqrt {-{\frac {4p}{3}}}}$ это уравнение приобретает вид ${\frac {A^{3}}{4}}\cdot {\Big (}4\cos ^{3}\varphi -3\cos \varphi {\Big )}=-q$.

• Используя тригонометрическое тождество $\cos 3\varphi =4\cos ^{3}\varphi -3\cos \varphi$ приходим к уравнению вида $\cos 3\varphi =-{\frac {4q}{A^{3}}}$.

• Решение этого уравнения имеет вид $\varphi _{k}={\frac {1}{3}}\arccos {\Big (}-{\frac {4q}{A^{3}}}{\Big )}+{\frac {2\pi k}{3}}$, где $k$ пробегает значения 0, 1, -1. При условии, что $0\leq \arccos {\Big (}-{\frac {4q}{A^{3}}}{\Big )}\leq \pi$.

• Подставляя полученные значения $\varphi _{k}$ в выражение для переменной $x$, получаем ответ $x_{k}=A\cdot \cos \varphi _{k}$