Кубическое уравнение

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
График кубической функции y=(x^3+3x^2-6x-8)/4, у которой 3 действительных корня (в месте пересечения горизонтальной оси, где у = 0). Имеются 2 критические точки
Уравнение 8x^3 + 7x^2 - 4x + 1 имеет один действительный и два мнимых корня.

Куби́ческое уравне́ние — алгебраическое уравнение третьей степени, общий вид которого имеет вид:

ax^3 + bx^2 + cx + d = 0, \; a \ne 0.

Для графического анализа кубического уравнения в декартовой системе координат используется кубическая парабола.

Кубическое уравнение общего вида может быть приведено к каноническому виду при x = y - \tfrac{b}{3a}:

y^3 + py + q = 0,\,

где

q = \frac{2b^3}{27a^3} - \frac{bc}{3a^2} + \frac{d}{a} = \frac{2b^3 - 9abc + 27a^2d}{27a^3},
p = \frac{c}{a} - \frac{b^2}{3a^2} = \frac{3ac - b^2}{3a^2}.

Корни уравнения[править | править вики-текст]

Число x, обращающее уравнение в тождество, называется корнем или решением уравнения. Оно является также корнем многочлена третьей степени, стоящего в левой части канонической записи.

Над полем комплексных чисел, согласно основной теореме алгебры, кубическое уравнение всегда имеет 3 корня (с учётом кратности).

Так как каждый вещественный многочлен нечётной степени имеет хотя бы один вещественный корень, все возможные случаи состава корней кубического уравнения исчерпываются тремя, описанными ниже. Эти случаи легко различаются с помощью дискриминанта

 \Delta = -4b^3d + b^2c^2 - 4ac^3 + 18abcd - 27a^2d^2.

Итак, возможны только три случая:

  • Если Δ > 0, тогда уравнение имеет три различных вещественных корня.
  • Если Δ < 0, то уравнение имеет один вещественный и пару комплексно сопряжённых корней.
  • Если Δ = 0, тогда хотя бы два корня совпадают. Это может быть, когда уравнение имеет двойной вещественный корень и ещё один отличный от них вещественный корень; либо, все три корня совпадают, образуя корень кратности 3. Разделить эти два случая помогает результант кубического уравнения и его второй производной: у многочлена есть корень кратности 3 тогда и только тогда, когда указанный результант также равен нулю.

По теореме Виета корни кубического уравнения x_1,\,x_2,\,x_3 связаны с коэффициентами a,\,b,\,c,\,d следующими соотношениями[1]:

x_1 + x_2 + x_3 = -\frac{b}{a},
x_1x_2 + x_2x_3 + x_1x_3 = \frac{c}{a},
x_1\,x_2\,x_3 = -\frac{d}{a}.

Делением указанных тождеств друг на друга можно получить ещё несколько справедливых соотношений:

\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \frac{1}{x_3} = -\frac{c}{d},\quad d\ne0,
\frac{1}{x_1x_2} + \frac{1}{x_2x_3} + \frac{1}{x_1x_3} = \frac{b}{d},\quad d\ne0.

Методы решения[править | править вики-текст]

Точные методы решения:

Также можно применять численные методы решения уравнений.

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике. — Изд. 7-е, стереотипное. — М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1967. — С. 139.

Литература[править | править вики-текст]

  • Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике. — Изд. 7-е, стереотипное. — М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1967. — С. 138—139.

Ссылки[править | править вики-текст]