Формула Кардано

Формула Кардано — формула для нахождения корней канонической формы кубического уравнения

$y^3+py+q=0\,$

над полем комплексных чисел. Названа в честь итальянского математика Джероламо Кардано.

Любое кубическое уравнение общего вида

$ax^3+bx^2+cx+d=0\,$

при помощи замены переменной

$x = y - \frac{b}{3a}$

может быть приведено к указанной выше канонической форме с коэффициентами

$p = \frac{c}{a} - \frac{b^2}{3a^2} = \frac{3ac - b^2}{3a^2},$

$q = \frac{2b^3}{27a^3} - \frac{bc}{3a^2} + \frac{d}{a} = \frac{2b^3 - 9abc + 27a^2d}{27a^3}.$

Формула

Определим Q:

$Q = \left( \frac{p}{3} \right)^3 + \left( \frac{q}{2} \right)^2.$

Если все коэффициенты кубического уравнения вещественны, то и Q вещественно, и по его знаку можно определить тип корней:

• Q > 0 — один вещественный корень и два сопряженных комплексных корня.
• Q = 0 — один однократный вещественный корень и один двукратный, или, если p = q = 0, то один трёхкратный вещественный корень.
• Q < 0 — три вещественных корня. Это так называемый «неприводимый» случай, и именно при анализе этой ситуации впервые исторически возникло понятие комплексного числа.

По формуле Кардано, корни кубического уравнения в канонической форме равны:

$~ y_1 = \alpha + \beta,$

$y_{2,3} = -\frac{\alpha + \beta}{2} \pm i \frac{\alpha - \beta}{2} \sqrt{3},$

где

$\alpha = \sqrt[3]{ -\frac{q}{2} + \sqrt{Q} },$

$\beta = \sqrt[3]{ -\frac{q}{2} - \sqrt{Q} },$

Дискриминант многочлена $y^3+py+q$ при этом равен $\Delta = - 108 Q$.

Применяя данные формулы, для каждого из трёх значений $\alpha$ необходимо брать такое $\beta$, для которого выполняется условие $\alpha\beta=-p/3$ (такое значение $\beta$ всегда существует).

Если кубическое уравнение вещественное, то рекомендуется по возможности выбирать вещественные значения $\alpha, \beta$.

Вывод  

Представим уравнение в виде

$\prod^3_{i=1}(y-y_i) = 0 \qquad (1)$

где $y_i$ - корни уравнения.Тогда

$\prod^3_{i=1}(y_i) = -q. \qquad (2)$

Примем:

$\ -q=\alpha^3 + \beta^3 \qquad (3)$

Тогда , решая уравнение (2) получим выражение для каждого $y_i$ через α и β. Одним из корней будет $\ y=\alpha+\beta$. Подставив его в уравнение (1) получим.

$\alpha^3 + \beta^3+ (3\alpha\beta+p)(\alpha+\beta)+q=0$

Подставляя q из (2), приходим к системе:

$\left\{\begin{matrix}(3\alpha\beta+p)(\alpha+\beta)=0 \\ \alpha^3 + \beta^3=-q\end{matrix}\right.$

Зная, что в общем случае сумма $\alpha+\beta$ не равна нулю получаем систему

$\left\{\begin{matrix}(3\alpha\beta+p)=0 \\ \alpha^3 + \beta^3=-q\end{matrix}\right.$

которая равносильна системе

$\left\{\begin{matrix}\alpha^3\beta^3=-{p^3\over 27}=m \\ \alpha^3 + \beta^3=-q=n\end{matrix}\right.$

Последняя представляет из себя формулы Виета для двух корней $\alpha^3$ и $\beta^3$ квадратного уравнения:

$\ z^2+nz+m=0$

См. также

• Кубическое уравнение
• Метод Феррари
• Теорема Абеля — Руффини

Ссылки

• Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров, М.: Наука, 1968 г. — с. 47.
• Онлайн решение кубического уравнения
• http://algolist.manual.ru/maths/findroot/cubic.php