Формула Кардано

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Текущая версия (не проверялась)

Формула Кардано — формула для нахождения корней кубического уравнения вида

y 3 + p y + q = 0

над полем комплексных чисел.

К такому виду может быть приведено любое кубическое уравнение

a x 3 + b x 2 + c x + d = 0

при помощи следующей замены:

$x=y-\frac b{3a}$

$p=-\frac{b^2}{3a^2}+\frac{c}{a}$

$q=\frac{2b^3}{27a^3}-\frac{bc}{3a^2}+\frac{d}{a}$

[править] Формула

Формула Кардано имеет вид:

$y_1=\sqrt[3]{-{q\over 2}+ \sqrt{-\frac\Delta{108}}}+\sqrt[3]{-{q\over 2}- \sqrt{-\frac\Delta{108}}}$

$y_2=\epsilon\sqrt[3]{-{q\over 2}+ \sqrt{-\frac\Delta{108}}}+\epsilon^2\sqrt[3]{-{q\over 2}- \sqrt{-\frac\Delta{108}}}$

$y_3=\epsilon^2\sqrt[3]{-{q\over 2}+ \sqrt{-\frac\Delta{108}}}+\epsilon\sqrt[3]{-{q\over 2}- \sqrt{-\frac\Delta{108}}}$

где

$\epsilon=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i, \Delta=-27q^2-4p^3$

$Δ -$ есть дискриминант многочлена $y 3 + p y + q$ . Применяя эту формулу, нужно для каждого из трёх значений кубического корня

$\alpha=\sqrt[3]{-{q\over 2}+ \sqrt{-\frac\Delta{108}}}$

брать то значение корня

$\beta=\sqrt[3]{-{q\over 2}- \sqrt{-\frac\Delta{108}}},$

для которого выполняется условие $αβ = - p / 3$ (такое значение корня $β$ всегда существует).

Вывод

Формулу можно получить, если предположить что значение корня представляется в виде суммы двух величин $x = α + β$ , тогда, раскрывая скобки, получаем:

α 3 + β 3 + (3αβ + p)(α + β) + q = 0

Основная идея — приравнять нулю выражение $3αβ + p$ . Тогда мы приходим к системе

$\left\{\begin{matrix}3\alpha\beta+p=0 \\ \alpha^3 + \beta^3=-q\end{matrix}\right.$

которая равносильна системе

$\left\{\begin{matrix}\alpha^3\beta^3=-{p^3\over 27} \\ \alpha^3 + \beta^3=-q\end{matrix}\right.$

Последняя представляет из себя формулы Виета для двух корней $α 3$ и $β 3$ квадратного уравнения.

Формула Кардано

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

[править] Формула

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

Поиск

Участие

Инструменты

На других языках