Уравнение Брио — Буке

Уравнение Брио и Буке — обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка вида

$x^{m}{\frac {dy}{dx}}=f(x,y),\quad (*)$

где m — натуральное число, функция $f(x,y)$ аналитическая и удовлетворяет условиям $f(0,0)=0$ и $f_{y}(0,0)\neq 0$. Уравнения (*) можно рассматривать как в вещественной, так и в комплексной области.

Название дано в честь двух французских математиков XIX века: Шарля Брио и Жан-Клода Буке, которые провели детальное исследование таких уравнений. Они, в частности, доказали, что уравнение (*) с начальным условием $y(0)=0$ почти всегда (за исключением случая, когда $m=1$ и $f_{y}(0,0)$ есть натуральное число) имеет единственное решение, представимое в виде формального степенного ряда $y=a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots ,$ который сходится в некоторой окрестности точки $x=0$, если $m=1$, и может расходиться для всех $x\neq 0$, если $m>1$.

См. также

• Теорема Пенлеве

Литература

• Briot, C. and Bouquet, J. Propriétés des fonctions définie par des équations différentielles. J. l'Ecole Polytechnique, Cah. 36, 133-198, 1856.
• Hazewinkel, M. (Managing Ed.). Encyclopaedia of Mathematics: An Updated and Annotated Translation of the Soviet "Mathematical Encyclopaedia." Dordrecht, Netherlands: Reidel, pp. 481-482, 1988.
• Ince, E. L. Ordinary Differential Equations. New York: Dover, 1956.
• Zwillinger, D. Handbook of Differential Equations, 3rd ed. Boston, MA: Academic Press, p. 120, 1997.