Условия Каруша — Куна — Таккера

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В теории оптимизации условия Каруша — Куна — Таккера (англ. Karush — Kuhn — Tucker conditions, KKT) — необходимые условия решения задачи нелинейного программирования. Чтобы решение было оптимальным, должны быть выполнены некоторые условия регулярности. Метод является обобщением метода множителей Лагранжа. В отличие от него, ограничения, накладываемые на переменные, представляют собой не уравнения, а неравенства.

История[править | править вики-текст]

Кун и Таккер обобщили метод множителей Лагранжа (для использования при построении критериев оптимальности для задач с ограничениями в виде равенств) на случай общей задачи нелинейного программирования с ограничениями, как в виде равенств, так и в виде неравенств[1].

Необходимые условия локального минимума для задач с ограничениями исследуются давно. Одним из основных остаётся предложенный Лагранжем перенос ограничений в целевую функцию. Условия Куна-Таккера тоже выведены из этого принципа[2].

Постановка задачи[править | править вики-текст]

Рассмотрим задачу нелинейной оптимизации.

\min\limits_{x \in X} f(x)

при условиях g_i(x)\leqslant 0,\;i=1\ldots m. Вильям Каруш в своей дипломной работе нашёл необходимые условия в общем случае, когда накладываемые условия могут содержать и уравнения, и неравенства. Независимо от него к тем же выводам пришли Гарольд Кун и Альберт Таккер.

Необходимые условия минимума функции[править | править вики-текст]

Если \hat{x}\in\arg\min f при наложенных ограничениях — решение задачи, то найдётся ненулевой вектор множителей Лагранжа \lambda\in\R^m такой, что для функции Лагранжа L(x)=f(x)+\sum^m_{i=1}\lambda_i g_i(x) выполняются условия:

  • стационарности: \min_x L(x)=L(\hat{x});
  • дополняющей нежёсткости: \lambda_i g_i(\hat{x})=0,\;i=1\ldots m;
  • неотрицательности: \lambda_i \geqslant 0,\;i=1\ldots m.

Достаточные условия минимума функции[править | править вики-текст]

Перечисленные необходимые условия минимума функции в общем случае не являются достаточными. Существует несколько вариантов дополнительных условий, которые делают их достаточными.

Простая формулировка[править | править вики-текст]

Если для допустимой точки \hat{x} выполняются условия стационарности, дополняющей нежёсткости и неотрицательности, а также \lambda_1>0, то \hat{x}\in\arg\min f.

Более слабые условия[править | править вики-текст]

Если для допустимой точки \hat{x} выполняются условия стационарности, дополняющей нежёсткости и неотрицательности, а также \exists\tilde{x}: g_i(\tilde{x})<0,\;i=1\ldots m (условие Слейтера), то \hat{x}\in\arg\min f.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Условия Куна–Таккера
  2. Жилинискас А., Шалтянис В. Поиск оптимума: компьютер расширяет возможности. - М.: Наука, 1989, с. 76, ISBN 5-02-006737-7

См. также[править | править вики-текст]