Уравнение

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Первое печатное появление знака равенства в книге Роберта Рекорда в 1557 году (записано уравнение 14x + 15 = 71)

Уравне́ние — это равенство вида

f(x_1, x_2 \dots) = g(x_1, x_2 \dots)

Чаще всего в качестве f, g выступают числовые функции, хотя на практике встречаются и более сложные случаи — например, уравнения для вектор-функций, функциональные уравнения и др.

Решение уравнения[править | править вики-текст]

Иллюстрация графического метода нахождения корней уравнения  x = f(x)

Решение уравнения — задача по нахождению таких значений аргументов, при которых это равенство достигается. На возможные значения аргументов могут быть наложены дополнительные условия (целочисленности, вещественности и т. д.).

Аргументы заданных функций (иногда называются «переменными») в случае уравнения называются «неизвестными».

Значения неизвестных, при которых это равенство достигается, называются решениями или корнями данного уравнения.

Про корни говорят, что они удовлетворяют данному уравнению.

Решить уравнение означает найти множество всех его решений (корней) или доказать, что корней нет.

Равносильные уравнения[править | править вики-текст]

Равносильными или эквивалентными называются уравнения, множества корней которых совпадают. Равносильными также считаются уравнения, которые не имеют корней.

Эквивалентность уравнений имеет свойство симметричности: если одно уравнение эквивалентно другому, то второе уравнение эквивалентно первому.

Эквивалентность уравнений имеет свойство транзитивности: если одно уравнение эквивалентно другому, а второе эквивалентно третьему, то первое уравнение эквивалентно третьему. Свойство эквивалентности уравнений позволяет проводить с ними преобразования, на которых основываются методы их решения.

Третье важное свойство задается теоремой: если функции f,g заданы над областью целостности, то уравнение

 f(x) \cdot g(x) = 0 \,

эквивалентно совокупности уравнений:

 f (x) = 0, \qquad g(x) = 0. \,

Это означает, что все корни первого уравнения являются корнями одного из двух других уравнений и позволяет находить корни частями.

Основные свойства[править | править вики-текст]

С алгебраическими выражениями, входящими в уравнения, можно выполнять операции, которые не меняют его корней, в частности:

  1. В любой части уравнения можно раскрыть скобки.
  2. В любой части уравнения можно привести подобные слагаемые.
  3. Любой член уравнения можно перенести из одной части в другую, заменив его знак на противоположный.
  4. К обеим частям уравнения можно прибавить одно и то же выражение.
  5. Из обеих частей уравнения можно вычесть одно и то же выражение.
  6. Обе части уравнения можно умножать или делить на одно и то же число, отличное от нуля.

Уравнения, которые являются результатом этих операций, являются эквивалентными начальному уравнению. Однако для свойств 4 и 5 существует ограничение: в случае прибавления к обеим частям уравнения одного и того же выражения (или в случае вычитания из обеих частей уравнения одного и того же выражения), содержащего неизвестное и теряющего смысл при неизвестном, принимающем значения корней данного уравнения, получится уравнение, неэквивалентное исходному (начальному). Но если к обеим частям уравнения прибавить одно и то же выражение (или из обеих частей уравнения вычесть одно и то же выражение), содержащее неизвестное и теряющее смысл лишь при значениях неизвестного, не являющихся корнями данного уравнения, то получится уравнение, эквивалентное начальному.

Умножение или деление обеих частей уравнения на выражение, содержащее неизвестное, может привести, соответственно, к появлению посторонних корней или к потере корней.

Возведение обеих частей уравнения в квадрат может привести к появлению посторонних корней.

Следствие уравнения и посторонние корни[править | править вики-текст]

Уравнение

 F(x) = G(x) \,

называется следствием уравнения

 f(x) = g(x) \, ,

если все корни второго уравнения являются корнями первого. Первое уравнение может иметь дополнительные корни, которые для второго уравнения называются посторонними. Посторонние корни могут появиться при преобразованиях, необходимых для нахождения корней уравнений. Для того чтобы их обнаружить, необходимо проверить корень подстановкой в исходное уравнение. Если при подстановке уравнение становится тождеством, то корень настоящий, если нет — посторонний.

Пример[править | править вики-текст]

Уравнение

 \sqrt{2x^2 -1} = x, \,

при возведении обеих частей в квадрат даёт уравнение

 2x^2 -1 = x^2, \,  или  x^2 = 1. \,

Оба уравнения являются следствием исходного. Последнее из них легко решить. Оно имеет два корня

 x = 1 и  x = -1 .

При подстановке первого корня в исходное уравнение образуется тождество

 \sqrt{1} = 1. \,

При подстановке другого корня получается неправильное утверждение:

 \sqrt{1} = -1. \, .

Таким образом, второй корень нужно отбросить, как посторонний.

Виды уравнений[править | править вики-текст]

Различают алгебраические, параметрические, трансцендентные, функциональные, дифференциальные и другие виды уравнений.

Некоторые классы уравнений имеют аналитические решения, которые удобны тем, что не только дают точное значение корня, а позволяют записать решение в виде формулы, в которую могут входить параметры. Аналитические выражения позволяют не только вычислить корни, а провести анализ их существования и их количества в зависимости от значений параметров, что часто бывает даже важнее для практического применения, чем конкретные значения корней.

К уравнениям, для которых известны аналитические решения, относятся алгебраические уравнения, не выше четвёртой степени: линейное уравнение, квадратное уравнение, кубическое уравнение и уравнение четвёртой степени. Алгебраические уравнения высших степеней в общем случае аналитического решения не имеют, хотя некоторые из них можно свести к уравнениям низших степеней.

Уравнения, в которые входят трансцендентные функции называются трансцендентными. Среди них аналитические решения известны для некоторых тригонометрических уравнений, поскольку нули тригонометрических функций хорошо известны.

В общем случае, когда аналитического решения найти не удаётся, применяют численные методы. Численные методы не дают точного решения, а только позволяют сузить интервал, в котором лежит корень, до определённого заранее заданного значения.

Алгебраические уравнения[править | править вики-текст]

Алгебраическим уравнением называется уравнение вида

P(x_1, x_2, \ldots, x_n) = 0,

где Pмногочлен от переменных x_1, \ldots, x_n, которые называются неизвестными.

Коэффициенты многочлена P обычно берутся из некоторого поля {F}, и тогда уравнение P(x_1, x_2, \ldots, x_n) = 0 называется алгебраическим уравнением над полем {F}. Степенью алгебраического уравнения называют степень многочлена P.

Например, уравнение

y^4 + \frac{xy}{2} + y^2z^5 + x^3 - xy^2 + \sqrt{3} x^2 - \sin{1} = 0

является алгебраическим уравнением седьмой степени от трёх переменных (с тремя неизвестными) над полем вещественных чисел.

Линейные уравнения[править | править вики-текст]

  • в общей форме: a_1x_1 + a_2x_2 + \dots + a_nx_n + b = 0
  • в канонической форме: a_1x_1 + a_2x_2 + \dots + a_nx_n = b

Квадратные уравнения[править | править вики-текст]

Квадратное уравнение.gif
ax^2 + bx + c = 0,

где x — свободная переменная, a, b, cкоэффициенты, причём \quad a \ne 0.

Выражение ax^2+bx+c называют квадратным трёхчленом. Корень такого уравнения (корень квадратного трёхчлена) — это значение переменной x, обращающее квадратный трёхчлен в нуль, то есть значение, обращающее квадратное уравнение в тождество. Коэффициенты квадратного уравнения имеют собственные названия: коэффициент a называют первым или старшим, коэффициент b называют вторым или коэффициентом при x, c называется свободным членом этого уравнения. Приведённым называют квадратное уравнение, в котором старший коэффициент равен единице. Такое уравнение может быть получено делением всего выражения на старший коэффициент a: x^2 + px + q = 0, \quad p=\frac{b}{a}, \quad q=\frac{c}{a}. Полным квадратным уравнением называют такое, все коэффициенты которого отличны от нуля. Неполным квадратным уравнением называется такое, в котором хотя бы один из коэффициентов кроме старшего (либо второй коэффициент, либо свободный член) равен нулю. Графиком квадратичной функции является парабола.

Для нахождения корней квадратного уравнения  ax^2 + bx +c=0 в общем случае следует пользоваться приводимым ниже алгоритмом:

Вычислить значение дискриминанта квадратного уравнения: таковым для него называется выражение D=b^2 - 4ac.
1)если D > 0 2) если D = 0 3)если D < 0
корней два, для отыскания используют формулу: x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}(1) , корень один (в некоторых контекстах говорят также о двух равных или совпадающих корнях - его, к тому же, называют корнем кратности 2), формула которого -  -\frac{b}{2a} делают вывод о том, что корней на множестве действительных чисел нет.

Кубические уравнения[править | править вики-текст]

График кубической функции
ax^3 + bx^2 + cx + d = 0, \quad a \ne 0.

Для графического анализа кубического уравнения в декартовой системе координат используется кубическая парабола.

Любое кубическое уравнение канонического вида можно привести к более простому виду:

y^3 + py + q = 0,\,

поделив его на a и подставив в него замену x = y - \tfrac{b}{3a}. При этом коэффициенты будут равны:

q = \frac{2b^3}{27a^3} - \frac{bc}{3a^2} + \frac{d}{a} = \frac{2b^3 - 9abc + 27a^2d}{27a^3},
p = \frac{c}{a} - \frac{b^2}{3a^2} = \frac{3ac - b^2}{3a^2}.

Уравнение четвёртой степени[править | править вики-текст]

График многочлена 4-ой степени с четырьмя корнями и тремя критическими точками.
f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e = 0, \quad a \neq 0.

Четвёртая степень для алгебраических уравнений является наивысшей, при которой существует аналитическое решение в радикалах в общем виде (то есть при любом значении коэффициентов).

Так как f(x) является многочленом чётной степени, она имеет один и тот же предел при стремлении к плюс и к минус бесконечности. Если a>0, то функция возрастает до плюс бесконечности с обеих сторон, таким образом, функция имеет глобальный минимум. Аналогично, если a<0, то функция убывает до минус бесконечности с обеих сторон, таким образом, функция имеет глобальный максимум.

Системы линейных алгебраических уравнений[править | править вики-текст]

Система уравнений вида:


\begin{cases}
    a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \dots + a_{1n}x_n = b_1 \\
    a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \dots + a_{2n}x_n = b_2\\
    \dots\\
    a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \dots + a_{mn}x_n = b_m \\
\end{cases}
(1)

Здесь m — количество уравнений, а n — количество неизвестных. x1, x2, …, xn — неизвестные, которые надо определить. a11, a12, …, amn — коэффициенты системы — и b1, b2, … bm — свободные члены — предполагаются известными. Индексы коэффициентов (aij) системы обозначают номера уравнения (i) и неизвестного (j), при котором стоит этот коэффициент, соответственно[1].

Система называется однородной, если все её свободные члены равны нулю (b1 = b2 = … = bm = 0), иначе — неоднородной. Система называется квадратной, если число m уравнений равно числу n неизвестных. Решение системы — совокупность n чисел c1, c2, …, cn, таких что подстановка каждого ci вместо xi в систему обращает все её уравнения в тождества. Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если у неё нет ни одного решения. Решения c1(1), c2(1), …, cn(1) и c1(2), c2(2), …, cn(2) совместной системы называются различными, если нарушается хотя бы одно из равенств:

c1(1) = c1(2), c2(1) = c2(2), …, cn(1) = cn(2).

Совместная система называется определённой, если она имеет единственное решение; если же у неё есть хотя бы два различных решения, то она называется неопределённой. Если уравнений больше, чем неизвестных, она называется переопределённой.

Уравнения с параметрами[править | править вики-текст]

Уравнением с параметрами называется математическое уравнение, внешний вид и решение которого зависит от значений одного или нескольких параметров. Решить уравнение с параметром означает:

  1. Найти все системы значений параметров, при которых данное уравнение имеет решение.
  2. Найти все решения для каждой найденной системы значений параметров, то есть для неизвестного и параметра должны быть указаны свои области допустимых значений.

Уравнения с параметром могут быть как линейными, так и нелинейными.

Пример линейного уравнения с параметром:


a\,x+1=4,

Пример нелинейного уравнения с параметром:


\mbox{log}_{x^2}\frac{a+3}{7-x}=5,

где  x  — независимая переменная , a  — параметр.

Трансцендентные уравнения[править | править вики-текст]

Трансцендентным уравнением называется уравнение, не являющееся алгебраическим. Обычно это уравнения, содержащие показательные, логарифмические, тригонометрические, обратные тригонометрические функции, например:

  • \cos x  = x
  • \lg x  = x - 5
  •  2^x  = \lg x + x^5 + 40

Более строгое определение таково: трансцендентное уравнение — это уравнение вида f(x)=g(x), где функции f и g являются аналитическими функциями, и по крайней мере одна из них не является алгебраической.

Функциональные уравнения[править | править вики-текст]

Функциональным уравнением называется уравнение, выражающее связь между значением функции (или функций) в одной точке с её значениями в других точках. Многие свойства функций можно определить, исследуя функциональные уравнения, которым эти функции удовлетворяют. Термин функциональное уравнение обычно используется для уравнений, несводимых простыми способами к алгебраическим уравнениям. Эта несводимость чаще всего обусловлена тем, что аргументами неизвестной функции в уравнении являются не сами независимые переменные, а некоторые данные функции от них. Например:

  • функциональному уравнению

f(s) = 2^s\pi^{s-1}\sin\left(\frac{\pi s}{2}\right)\Gamma(1-s)f(1-s)
где \Gamma(z) — Гамма-функция Эйлера, удовлетворяет Дзета-функция Римана ζ.
  • Следующим трём уравнениям удовлетворяет Гамма-функция. Гамма-функция является единственным решением этой системы трёх уравнений:
f(x)={f(x+1) \over x}\,\!
f(y)f\left(y+\frac{1}{2}\right)=\frac{\sqrt{\pi}}{2^{2y-1}}f(2y)
f(z)f(1-z)={\pi \over \sin(\pi z)}\,\!\,\,\,       (формула дополнения Эйлера)
  • Функциональное уравнение
f\left({az+b\over cz+d}\right) = (cz+d)^k f(z)\,\!
где a, b, c, d являются целыми числами, удовлетворяющими равенству adbc = 1, то есть 
\begin{vmatrix} a & b\\c & d\end{vmatrix}\,=1, определяет f как модулярную форму порядка k.

Дифференциальные уравнения[править | править вики-текст]

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее значение некоторой неизвестной функции в некоторой точке и значение её производных различных порядков в той же точке. Дифференциальное уравнение содержит в своей записи неизвестную функцию, её производные и независимые переменные. Порядок дифференциального уравнения — наибольший порядок производных, входящих в него. Решением дифференциального уравнения порядка n называется функция y(x), имеющая на некотором интервале (a, b) производные y'(x), y''(x), ..., y^{(n)}(x) до порядка n включительно и удовлетворяющая этому уравнению. Процесс решения дифференциального уравнения называется интегрированием.

Все дифференциальные уравнения можно разделить на

F\left(x,y,y',y'',...,y^{(n)}\right)=0\! или F\left(x,y,\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x},\frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}x^2},...,\frac{\mathrm{d}^{n}y}{\mathrm{d}x^n}\right)=0,

где ~y=y(x) — неизвестная функция (возможно, вектор-функция; в таком случае часто говорят о системе дифференциальных уравнений), зависящая от независимой переменной ~x, штрих означает дифференцирование по ~x.

F \left(x_1, x_2,\dots, x_m, z, \frac{\partial z}{\partial x_1}, \frac{\partial z}{\partial x_2},\dots, \frac{\partial z}{\partial x_m}, \frac{\partial^2 z}{\partial x_1^2}, \frac{\partial^2 z}{\partial x_1 \partial x_2}, \frac{\partial^2 z}{\partial x_2^2},\dots,\frac{\partial^n z}{\partial x_m^n}\right)= 0,

где x_1, x_2,\dots, x_m — независимые переменные, а z\! = z(x_1, x_2,\dots, x_m) — функция этих переменных.

Первоначально дифференциальные уравнения возникли из задач механики, в которых участвовали координаты тел, их скорости и ускорения, рассматриваемые как функции времени.

Примеры уравнений[править | править вики-текст]

  • x+3 = 2x
  • x^2+1=0
  • e^{x + y} = x + y
  • a^n +b^n = c^n, где a, b, c, n — натуральные числа

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра: Учебник для вузов. — 6-е изд., стер. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 280 с.

Литература[править | править вики-текст]

  • Бекаревич А. Б. Уравнения в школьном курсе математики. — Минск: Нар. асвета, 1968. — 152 с.
  • Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — М.: Наука, 1978.
  • Зайцев В. В., Рыжков В. В., Сканави М. И. Элементарная математика. Повторительный курс. — Издание третье, стереотипное. — М.: Наука, 1976. — 591 с.
  • Маркушевич, Л. А. Уравнения и неравенства в заключительном повторении курса алгебры средней школы / Л. А. Маркушевич, Р. С. Черкасов. / Математика в школе. — 2004. — № 1.

Ссылки[править | править вики-текст]