Неравенство

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

О неравенствах в социально-экономическом смысле см. Социальное неравенство.

В математике неравенство есть утверждение об относительной величине или порядке двух объектов (см. также Равенство).

запись $a < b \!\$ означает, что a меньше чем b;
запись $a > b \!\$ означает, что a больше чем b.

Эти математические отношения называются строгим неравенством. В противоположность им нестрогие неравенства означают следующее:

запись $a \le b$ означает, что a меньше либо равно b;
запись $a \ge b$ означает, что a больше либо равно b.

Кроме того, иногда требуется показать, что одна из величин много больше другой, обычно на несколько порядков:

запись $a \gg b \!\$ означает, что a много больше b.

Иногда не требуется знать результат и тогда можно определить формальное неравенство как два числа или алгебраических выражения, соединённые знаками >,<,=.

Содержание

1 Классификация неравенств
2 Равносильные переходы при решении иррациональных неравенств
3 Решение неравенств методом интервалов
4 Примечание

[править] Классификация неравенств

Неравенства, содержащие неизвестные величины, подразделяются на:^[1]

алгебраические
трансцендентные

Алгебраические неравенства подразделяются на неравенства первой, второй, и т. д. степени.

Пример:

Неравенство $3x^2-x^2+5 > 0 \!$ - алгебраическое, второй степени.

Неравенство $2^x > x+4 \!$ - трансцендентное.

[править] Равносильные переходы при решении иррациональных неравенств

$\sqrt{f(x)} < g(x)$

$\left\{\begin{matrix} f(x) < g^2(x) \\ g(x) \geqslant 0 \\ f(x)\geqslant 0 \end{matrix}\right.$

$\sqrt{f(x)}>g(x)$

$\left[ \begin{matrix} \left\{\begin{matrix} f(x)>g^2(x) \\ g(x) \geqslant 0\end{matrix}\right. \\ \left\{\begin{matrix} g(x)<0 \\ f(x) > 0\end{matrix}\right. \end{matrix}\right.$

$\sqrt{f(x)} < \sqrt{g(x)}$

$\left\{\begin{matrix} f(x) < g(x) \\ f(x) \geqslant 0 \end{matrix}\right.$

[править] Решение неравенств методом интервалов

Пусть у нас есть неравенство вида $f_1(x)\cdot f_2(x)\cdot f_3(x)\cdot f_4(x)\cdot\ldots\cdot f_N(x) > 0$ Для его решения нам необходимо:

разбить ось $O X$ на интервалы знакопостоянства
поставить в каждом таком интервале знак неравенства на этом интервале ( $+\!$ , если больше нуля, $-\!$ если меньше)
выбрать те интервалы, где стоит знак начального неравенства