Неравенство

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В математике неравенство (≠) есть утверждение об относительной величине или порядке двух объектов, или о том, что они просто не одинаковы (см. также Равенство).

Типы неравенств[править | править вики-текст]

  • запись a < b означает, что a меньше, чем b;
  • запись a > b означает, что a больше, чем b.
  • запись a \neq b означает, что a не равно b.

Эти математические отношения называются строгим неравенством. В противоположность им нестрогие неравенства означают следующее:

  • запись a \leqslant b означает, что a меньше либо равно b;
  • запись a \geqslant b означает, что a больше либо равно b.

Кроме того, иногда требуется показать, что одна из величин много больше другой, обычно на несколько порядков:

  • запись a \gg b означает, что a намного больше b.

Иногда не требуется знать результат и тогда можно определить формальное неравенство как два числа или алгебраических выражения, соединённые знаками >,<,≠.

Неравенство называется точным, если его нельзя улучшить.

  • Например (x+1)^2+(x-1)^2\ge 2 является точным, а (x+1)^2+(x-1)^2\ge 0 нет.

Неравенства, содержащие неизвестные величины, подразделяются на:[1]

  • алгебраические
  • трансцендентные

Алгебраические неравенства подразделяются на неравенства первой, второй, и т. д. степени.

Пример:
Неравенство  18x < 414 — алгебраическое, первой степени.
Неравенство  2x^2-7x+6 > 0  — алгебраическое, второй степени.
Неравенство 2^x > x+4  — трансцендентное.

Решение неравенств второй степени[править | править вики-текст]

Решение неравенства второй степени вида ax^2+bx+c > 0 или  ax^2+bx+c < 0 можно рассматривать как нахождение промежутков, в которых квадратичная функция f(x) = ax^2+bx+c принимает положительные или отрицательные значения (промежутки знакопостоянства).

Пример 1.[править | править вики-текст]

Решить неравенство x^2-x-6\leqslant0.

Решение. Рассмотрим функцию f\left(x\right)=x^{2}-x-6. Для того чтобы решить это неравенство методом интервалов нам следует найти нули функции f\left(x\right) и выбрать соответствующие интервалы, в которых она принимает отрицательные значения.

Итак, корни уравнения x_{1}=3; x_{2}=-2, наш искомый интервал: x\in[-2;3].

Ответ: x\in[-2;3].

Решение неравенств методом интервалов[править | править вики-текст]

Пусть у нас есть неравенство вида f_1(x)\cdot f_2(x)\cdot f_3(x)\cdot f_4(x)\cdot\ldots\cdot f_N(x) > 0 Для его решения нам необходимо:

  • разбить ось OX на интервалы знакопостоянства
  • поставить в каждом таком интервале знак неравенства на этом интервале (+, если больше нуля, - если меньше)
  • выбрать те интервалы, где стоит знак начального неравенства

Крайними точками интервалов будут -\infty, +\infty и нули функций f_1(x), f_2(x), f_3(x), f_4(x) \ldots f_N(x).

Равносильные переходы при решении иррациональных неравенств[править | править вики-текст]

\sqrt{f(x)} < g(x)\Longleftrightarrow
 \left\{\begin{matrix}  f(x) < g^2(x), \\ g(x) \geqslant 0, \\ f(x)\geqslant 0 \end{matrix}\right.


\sqrt{f\left(x\right)}>g\left(x\right)\Longleftrightarrow\left[\begin{array}{cc}
\begin{cases}
f\left(x\right)>\left(g\left(x\right)\right)^{2},\\
g\left(x\right)\geqslant0,
\end{cases}\\
\begin{cases}
f\left(x\right)\geqslant0,\\
g\left(x\right)<0
 \end{cases}
\end{array}\right.


\sqrt{f\left(x\right)}<\sqrt{g\left(x\right)}\Longleftrightarrow\begin{cases}
f\left(x\right)<g\left(x\right),\\
f\left(x\right)\geqslant0
\end{cases}

Пример 2.[править | править вики-текст]

Решить неравенство \sqrt{x^{3}-x^{2}}>\sqrt{x-1}.

Решение. Действуем по плану:

\sqrt{x^{3}-x^{2}}>\sqrt{x-1}\Longleftrightarrow
 \begin{cases}
x^{3}-x^{2}>x-1,\\
x-1\geqslant0\end{cases}\Longleftrightarrow  \begin{cases}
x^{2}\left(x-1\right)-\left(x-1\right)>0,\\
x\geqslant1 \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases}
x>-1,x\not=1\\
x\geqslant1
\end{cases}

Из последней выкладки видно, что наше неравенство имеет решение:   (1,+\infty)

Ответ:

Знаки неравенства[править | править вики-текст]

В языках программирования:

Символ Языки
 != C, Java, PHP
<> Basic, Pascal
~= Lua
/= Haskell


Символ Изображение Код в
Юникоде
Название
в Юникоде
Название HTML
шестн.
HTML
десят.
HTML
обозн.
LaTeX
< < U+003C Less-than Меньше &#x3C; &#60; &lt; <, \textless
> > U+003E Greater-than Больше &#x3E; &#62; &gt; >, \textgreater

Русскоязычная традиция начертания знаков \leqslant и \geqslant отличается от принятой в англоязычной литературе.

Символ Изображение Код в
Юникоде
Название
в Юникоде
Название HTML
шестн.
HTML
десят.
HTML
обозн.
LaTeX
\leqslant U+2A7D Less-than or slanted equal to Меньше либо равно &#x2A7D; &#10877; отсутствует \leqslant
\geqslant U+2A7E Greater-than or slanted equal to Больше либо равно &#x2A7E; &#10878; отсутствует \geqslant
\le U+2264 Less-than or equal to Меньше либо равно &#x2264; &#8804; &le; \le, \leq
\ge U+2265 Greater-than or equal to Больше либо равно &#x2265; &#8805; &ge; \ge, \geq


Примечание[править | править вики-текст]

  1. М. Я. Выгодский «Справочник по элементарной математике», М., 1974

См. также[править | править вики-текст]