Фокалоид

Трёхмерный фокалоид

Фокалоид (англ. Focaloid) — область пространства (оболочка), заключённая между двумя концентрическими софокусными эллипсами (двумерный фокалоид) или эллипсоидами (трёхмерный фокалоид). Если толщина оболочки пренебрежимо мала, фокалоид называют тонким.

Математическое описание трёхмерного фокалоида

Пусть одна из ограничивающих фокалоид поверхностей задана уравнением

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1,$

где a, b, c — полуоси. Тогда вторая поверхность задаётся уравнением

${\frac {x^{2}}{a^{2}+\lambda }}+{\frac {y^{2}}{b^{2}+\lambda }}+{\frac {z^{2}}{c^{2}+\lambda }}=1.$

Тонкий фокалоид получается в пределе при $\lambda \to 0$.

В общем смысле фокалоид можно рассматривать как оболочку, состоящую из двух замкнутых координатных поверхностей в софокусной эллипсоидальной системе координат.

Софокусность

Софокусные эллипсоиды имеют одни и те же фокусы, при этом справедливы соотношения

$f_{1}^{2}=a^{2}-b^{2}=(a^{2}+\lambda )-(b^{2}+\lambda ),\,$

$f_{2}^{2}=a^{2}-c^{2}=(a^{2}+\lambda )-(c^{2}+\lambda ),\,$

$f_{3}^{2}=b^{2}-c^{2}=(b^{2}+\lambda )-(c^{2}+\lambda ).$

Физические свойства

Фокалоид можно рассматривать в качестве элементарного распределения вещества или заряда. Два различных софокусных фокалоида одинаковой массы или заряда оказывают одинаковое воздействие на пробную массу или заряд, расположенный вне фокалоидов.

См. также

• Гомеоид
• Сферическая оболочка
• Софокусные конические сечения