Эллипсоид

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Эллипсоид вращения

Эллипсо́ид — поверхность в трёхмерном пространстве, полученная деформацией сферы вдоль трёх взаимно перпендикулярных осей. Каноническое уравнение эллипсоида в декартовых координатах, совпадающих с осями деформации эллипсоида:

\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1, где a, b, c — произвольные положительные числа.

Величины a, b, c называют полуосями эллипсоида. Также эллипсоидом называют тело, ограниченное поверхностью эллипсоида. Эллипсоид представляет собой одну из возможных форм поверхностей второго порядка.

Constructie ellipsoïde.gif
Ellipsoid 321.png

В случае, когда пара полуосей имеет одинаковую длину, эллипсоид может быть получен вращением эллипса вокруг одной из его осей. Такой эллипсоид называют эллипсоидом вращения или сфероидом.

Эллипсоид более точно, чем сфера, отражает идеализированную поверхность Земли.

Объём эллипсоида:

V = \frac{4}{3} \pi abc.

Площадь поверхности эллипсоида вращения[источник не указан 394 дня]:

S = 4 \pi b^2 \left( 1 + \frac{2}{3}e^2 + \frac{3}{5}e^4 + \frac{4}{7}e^6 + ... + \frac{k+1}{2k+1}e^{2k} + ...  \right).

В элементарных функциях[источник не указан 394 дня]:

S_{\rm oblate} =  2\pi a^2\left(1+\frac{1-e^2}{e}\mathrm{arth}\,e\right)
\quad\mbox{,}\quad e^2=1-\frac{c^2}{a^2}\quad(c<a),
S_{\rm prolate} =  2\pi a^2\left(1+\frac{c}{ae}\sin^{-1}e\right)
\quad\qquad\mbox{,}\;\quad e^2=1-\frac{a^2}{c^2}\quad(c>a),

Oblate, prolate — сплюснутый и вытянутый соответственно.

Литература[править | править вики-текст]