Эллипс

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Эллипс, его фокусы и главные оси
Эллипс как коническое сечение, его фокусы и директрисы, получаемые геометрически с помощью шаров Данделена.

Э́ллипс (др.-греч. ἔλλειψις — опущение, недостаток, в смысле недостатка эксцентриситета до 1) — геометрическое место точек M Евклидовой плоскости, для которых сумма расстояний до двух данных точек F_1 и F_2 (называемых фокусами) постоянна и больше расстояния между фокусами, то есть

|F_1M|+|F_2M|=2a, причем  |F_1F_2|<2a.

Окружность является частным случаем эллипса. Наряду с гиперболой и параболой, эллипс является коническим сечением и квадрикой.

Эллипс также можно описать как пересечение плоскости и кругового цилиндра или как ортогональную проекцию окружности на плоскость.

Связанные определения[править | править вики-текст]

  • Проходящий через фокусы эллипса отрезок AB, концы которого лежат на эллипсе, называется большой осью данного эллипса. Длина большой оси равна 2a в вышеприведённом уравнении.
  • Отрезок CD, перпендикулярный большой оси эллипса, проходящий через центральную точку большой оси, концы которого лежат на эллипсе, называется малой осью эллипса.
  • Точка пересечения большой и малой осей эллипса называется его центром.
  • Отрезки, проведённые из центра эллипса к вершинам на большой и малой осях называются, соответственно, большой полуосью и малой полуосью эллипса, и обозначаются a и b.
  • Расстояния r_1 и r_2 от каждого из фокусов до данной точки на эллипсе называются фокальными радиусами в этой точке.
  • Расстояние c=\frac{|F_1 F_2|}{2} называется фокальным расстоянием.
  • Величина e = \frac{c}{a} = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} называется эксцентриситетом.
  • Диаметром эллипса называют произвольную хорду, проходящую через его центр. Сопряжёнными диаметрами эллипса называют пару его диаметров, обладающих следующим свойством: середины хорд, параллельных первому диаметру, лежат на втором диаметре. В этом случае и середины хорд, параллельных второму диаметру, лежат на первом диаметре.
  • Радиус эллипса в данной точке (расстояние от его центра до данной точки) вычисляется по формуле r=\frac{ab}{\sqrt{b^2 \cos^2\varphi + a^2 \sin^2\varphi}} = \frac{b}{\sqrt{1 - e^2 \cos^2\varphi}}, где \varphi — угол между радиус-вектором данной точки и осью абсцисс.
  • Фокальным параметром p=\frac{b^2}{a} называется половина длины хорды, проходящей через фокус и перпендикулярной большой оси эллипса.
  • Отношение длин малой и большой полуосей называется коэффициентом сжатия эллипса или эллиптичностью: k = \frac{b}{a}. Величина, равная (1-k) = \frac{a-b}{a}, называется сжатием эллипса. Для окружности коэффициент сжатия равен единице, сжатие — нулю. Коэффициент сжатия и эксцентриситет эллипса связаны соотношением ~k^2=1-e^2.
  • Для каждого из фокусов существует прямая, называемая директрисой, такая, что отношение расстояния от произвольной точки эллипса до его фокуса к расстоянию от этой точки до данной прямой равно эксцентриситету эллипса. Весь эллипс лежит по ту же сторону от такой прямой, что и фокус. Уравнения директрис эллипса в каноническом виде записываются как x = \pm\frac{p}{e\left(1+e\right)} для фокусов \left(\mp\frac{p}{1+e},\,0\right) соответственно. Расстояние между фокусом и директрисой равно \frac{p}{e}.

Свойства[править | править вики-текст]

  • Оптические
    • Свет от источника, находящегося в одном из фокусов, отражается эллипсом так, что отраженные лучи пересекутся во втором фокусе.
    • Свет от источника, находящегося вне любого из фокусов, отражается эллипсом так, что отраженные лучи ни в каком фокусе не пересекутся.
  • Если F_1 и F_2 — фокусы эллипса, то для любой точки X, принадлежащей эллипсу, угол между касательной в этой точке и прямой (F_1X) равен углу между этой касательной и прямой (F_2X).
  • Прямая, проведённая через середины отрезков, отсечённых двумя параллельными прямыми, пересекающими эллипс, всегда будет проходить через центр эллипса. Это позволяет построением с помощью циркуля и линейки легко получить центр эллипса, а в дальнейшем оси, вершины и фокусы.
  • Эволютой эллипса является астроида, вытянутая вдоль вертикальной оси.
  • Точки пересечения эллипса с осями являются его вершинами.
  • Эксцентриситет эллипса равен отношению e = \frac{c}{a} = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}}\;\;\;(0 \leqslant e < 1). Эксцентриситет характеризует вытянутость эллипса. Чем эксцентриситет ближе к нулю, тем эллипс больше напоминает окружность и наоборот, чем эксцентриситет ближе к единице, тем он более вытянут.
  • Эллипс также можно описать как

Соотношения между элементами эллипса[править | править вики-текст]

Части эллипса (описание см. в разделе "Связанные определения")
  • ~\boldsymbol a — большая полуось;
  • ~\boldsymbol b — малая полуось;
  • ~\boldsymbol c — фокальное расстояние (полурасстояние между фокусами);
  • ~\boldsymbol p — фокальный параметр;
  • ~\boldsymbol r_p — перифокусное расстояние (минимальное расстояние от фокуса до точки на эллипсе);
  • ~\boldsymbol r_a — апофокусное расстояние (максимальное расстояние от фокуса до точки на эллипсе);

~a^2 = b^2 + c^2

e = \frac{c}{a} = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}}\;\;\;(0 \leqslant e < 1)..

~p = \frac{b^2}{a}


~\boldsymbol a

~\boldsymbol b

~\boldsymbol c

~\boldsymbol p

~\boldsymbol {r_p}

~\boldsymbol {r_a}
~\boldsymbol a – большая полуось ~\boldsymbol a ~a = \frac{b}{\sqrt{1-e^2}} ~a = \frac{c}{e} ~a = \frac{p}{1-e^2} ~a = \frac{r_p}{1-e} ~a = \frac{r_a}{1+e}
~\boldsymbol b – малая полуось ~b = a \sqrt{1-e^2} ~\boldsymbol b ~b = \frac{c~\sqrt{1-e^2}}{e} ~b = \frac{p}{\sqrt{1-e^2}} ~b = r_p\sqrt{\frac{1+e}{1-e}} ~b = r_a\sqrt{\frac{1-e}{1+e}}
~\boldsymbol c – фокальное расстояние ~c = ae ~c = \frac{be}{\sqrt{1-e^2}} ~\boldsymbol c ~c = \frac{pe}{1-e^2} ~c = \frac{r_pe}{1-e} ~c = \frac{r_ae}{1+e}
~\boldsymbol p – фокальный параметр ~p = a(1-e^2) ~p = b~\sqrt{1-e^2} ~p = c~\frac{1-e^2}{e} ~\boldsymbol p ~p = r_p (1+e) ~p = r_a (1-e)
~\boldsymbol r_p – перифокусное расстояние ~r_p = a(1-e) ~r_p = b~\sqrt{\frac{1-e}{1+e}} ~r_p = c~\frac{1-e}{e} ~r_p = \frac{p}{1+e} ~\boldsymbol r_p ~r_p = r_a\frac{1-e}{1+e}
~\boldsymbol r_a – апофокусное расстояние ~r_a = a(1+e) ~ r_a = b~\sqrt{\frac{1+e}{1-e}} ~ r_a = c~\frac{1+e}{e} ~ r_a = \frac{p}{1-e} ~ r_a = r_p~\frac{1+e}{1-e} ~\boldsymbol r_a

Координатное представление[править | править вики-текст]

Эллипс как кривая второго порядка[править | править вики-текст]

Эллипс является центральной невырожденной кривой второго порядка и удовлетворяет общему уравнению вида

~a_{11}x^2 + a_{22}y^2+2a_{12}xy+2a_{13}x+2a_{23}y+a_{33}=0,

при инвариантах D > 0\, и \Delta I < 0,\, где:

\Delta=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{12} & a_{22} & a_{23} \\ a_{13} & a_{23} & a_{33} \end{vmatrix},
D=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{12} & a_{22}\end{vmatrix}=a_{11}a_{22} - a_{12}^2,
I=tr\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{12} & a_{22}\end{pmatrix}=a_{11}+a_{22}.

Соотношения между инвариантами кривой второго порядка и полуосями эллипса (верно только при условии, что центр эллипса совпадает с началом координат и a_{33}=-1):

\Delta = -\frac{1}{a^2}\frac{1}{b^2},\,
D = \frac{1}{a^2}\frac{1}{b^2},\,
I = \frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}.\,

Каноническое уравнение[править | править вики-текст]

Для любого эллипса можно найти декартову систему координат такую, что эллипс будет описываться уравнением (каноническое уравнение эллипса):

\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1.

Оно описывает эллипс с центром в начале координат, оси которого совпадают с осями координат. [1]

Уравнения в параметрической форме[править | править вики-текст]

Геометрическая иллюстрация параметризации эллипса (анимация).

Каноническое уравнение эллипса может быть параметризовано:

\begin{cases} x = a\,\cos t \\ y = b\,\sin t \end{cases}\;\;\; 0 \leqslant t \leqslant 2\pi,

где t\, — параметр уравнения.

В случае окружности параметр t\, является углом между радиус-вектором данной точки и положительным направлением оси абсцисс.

В полярных координатах[править | править вики-текст]

Если принять фокус эллипса за полюс, а большую ось — за полярную ось, то его уравнение в полярных координатах \left(\rho, \varphi\right) будет иметь вид

\rho = \frac{p}{1 \pm e \cos \varphi},

где e — эксцентриситет, а p — фокальный параметр. При отрицательном знаке перед e второй фокус эллипса будет находиться в точке \left(2c, 0\right), а при положительном — в точке \left(2c,\pi\right), где фокальное расстояние c = \frac{pe}{1-e^2}.

Если принять центр эллипса за полюс, а большую ось — за полярную ось, то его уравнение в полярных координатах \left(\rho, \varphi\right) будет иметь вид

\rho = \frac{b}{\sqrt{1-e^2 \cos^2 \varphi}}.

Длина дуги эллипса[править | править вики-текст]

Длина дуги плоской линии определяется по формуле:

l = \int \limits_{t_1}^{t_2} \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right) ^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2} \,dt.

Воспользовавшись параметрическим представлением эллипса получаем следующее выражение:

l = \int \limits_{t_1}^{t_2} \sqrt{a^2 \sin^2 t + b^2 \cos^2 t}\,dt.

После замены b^2 = a^2 \left(1 - e^2 \right) выражение для длины дуги принимает окончательный вид:

l = a \int \limits_{t_1}^{t_2} \sqrt{1 - e^2 \cos^2 t}\,dt,\;\;\; e < 1.

Получившийся интеграл принадлежит семейству эллиптических интегралов, которые в элементарных функциях не выражаются, и сводится к эллиптическому интегралу второго рода E \left(t,e \right). В частности, периметр эллипса равен:

l = 4a \int \limits_{0}^{\pi/2} \sqrt{1 - e^2 \cos^2 t}\,dt = 4aE(e),

где E \left(e \right)полный эллиптический интеграл второго рода.

Приближённые формулы для периметра[править | править вики-текст]

L=4\frac{\pi ab + (a-b)^2}{a+b}.

Максимальная погрешность этой формулы ~0,63 % при эксцентриситете эллипса ~0,988 (соотношение осей ~1/6,5). Погрешность всегда положительная.

Приблизительно в два раза меньшие погрешности в широком диапазоне эксцентриситетов дает формула:

L=4 \cdot \left(a^x+b^x\right)^\left(1/x\right), где x=\frac{\ln 2}{\ln\frac{\pi}{2}}.

Максимальная погрешность этой формулы ~0,36 % при эксцентриситете эллипса ~0,980 (соотношение осей ~1/5). Погрешность также всегда положительная.

Существенно лучшую точность при 0,05<a/b<20 обеспечивает формула Рамануджана:

L=\pi[3(a+b)-\sqrt{(3a+b)(a+3b)}].

При эксцентриситете эллипса ~0,980 (соотношение осей ~1/5) погрешность составляет ~0,02 %. Погрешность всегда отрицательная.

Площадь эллипса и его сегмента[править | править вики-текст]

Площадь эллипса вычисляется по формуле

~S = \pi a b.

Площадь сегмента между дугой, выпуклой влево, и хордой, проходящей через точки \left(x,\,y\right) и \left(x,\,-y\right):

S = \frac{\pi a b}{2} - \frac{b}{a} \left(x\,\sqrt{a^2 - x^2} + a^2 \arcsin \frac{x}{a} \right).[источник не указан 806 дней]

Если эллипс задан уравнением A x^2+ B x y +  C y^2 = 1 , то площадь можно определить по формуле

S = \frac{2\pi}{\sqrt{ 4 A C - B^2 }}.

Построение эллипса[править | править вики-текст]

Эллипсограф в действии
Построение с помощью иголок, нитки и карандаша.

Основная статья — статья «Построение эллипса» в Викиучебнике.

Инструментами для рисования эллипса являются:

  • эллипсограф;
  • две иголки, воткнутые в фокусы эллипса и соединённые ниткой длиной 2a, которую оттягивают карандашом.

При помощи циркуля или циркуля и линейки можно построить любое количество точек, принадлежащих эллипсу, но не весь эллипс целиком.

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Если же в правой части стоит единица со знаком минус, то получившееся уравнение:
    \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=-1.
    описывает мнимый эллипс, он не имеет точек на вещественной плоскости.

Литература[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]