Вейвлеты Добеши

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Вейвлет Добеши порядка 2

Вейвлеты Добеши (англ. Daubechies wavelet) — семейство ортогональных вейвлетов с компактным носителем, вычисляемым итерационным путём. Названы в честь математика из США, первой построившей данное семейство, Ингрид Добеши.

Построение вейвлетов Добеши

[править | править код]

Для построения вейвлетов воспользуемся уравнением растяжения и вейвлет-уравнением:

Компактность носителя функций и может быть достигнута, если будет выбрано конечное число таким образом, чтобы была достигнута ортогональность и гладкость вейвлета, либо чтобы выполнялось условие моментов. Для области Фурье условие ортогональности и гладкости выглядит следующим образом:

где  — тригонометрический полином, при условии моментов

для принимающий вид

Если положить, что  — полином по , то условие нулевых моментов даёт , где  — полином по .

Для поиска коэффициентов необходимо получить , выделив форму полинома . Из условия ортогональности и условия нулевых моментов следует, что

Разложив до порядка , получим явный вид полинома:

Путём спектрального разложения на множители можно извлечь корни из :

Искомые коэффициенты вейвлета будут являться коэффициентами при в обратном порядке.

Также для построения вейвлетов данного типа используется каскадный алгоритм. Он позволяет поточечно строить масштабирующую функцию по известным коэффициентам . На каждом шаге алгоритма функция уточняется по оси в 2 раза. Далее при необходимости применяется сглаживание . После этого, зная и , находится функция самого вейвлета .

Ортогональные нормированные коэффициенты Добеши низких порядков

[править | править код]
Ортогональные нормированные коэффициенты Добеши низких порядков
D2 (Хаар) D4 D6 D8 D10 D12 D14 D16 D18 D20
1 0.6830127 0.47046721 0.32580343 0.22641898 0.15774243 0.11009943 0.07695562 0.05385035 0.03771716
1 1.1830127 1.14111692 1.01094572 0.85394354 0.69950381 0.56079128 0.44246725 0.34483430 0.26612218
0.3169873 0.650365 0.8922014 1.02432694 1.06226376 1.03114849 0.95548615 0.85534906 0.74557507
-0.1830127 -0.19093442 -0.03957503 0.19576696 0.44583132 0.66437248 0.82781653 0.92954571 0.97362811
-0.12083221 -0.26450717 -0.34265671 -0.31998660 -0.20351382 -0.02238574 0.18836955 0.39763774
0.0498175 0.0436163 -0.04560113 -0.18351806 -0.31683501 -0.40165863 -0.41475176 -0.35333620
0.0465036 0.10970265 0.13788809 0.1008467 6.68194092e-4 -0.13695355 -0.27710988
-0.01498699 -0.00882680 0.03892321 0.11400345 0.18207636 0.21006834 0.18012745
-0.01779187 -0.04466375 -0.05378245 -0.02456390 0.043452675 0.13160299
4.71742793e-3 7.83251152e-4 -0.02343994 -0.06235021 -0.09564726 -0.10096657
6.75606236e-3 0.01774979 0.01977216 3.54892813e-4 -0.04165925
-1.52353381e-3 6.07514995e-4 0.01236884 0.03162417 0.04696981
-2.54790472e-3 -6.88771926e-3 -6.67962023e-3 5.10043697e-3
5.00226853e-4 -5.54004549e-4 -6.05496058e-3 -0.01517900
9.55229711e-4 2.61296728e-3 1.97332536e-3
-1.66137261e-4 3.25814671e-4 2.81768659e-3
-3.56329759e-4 -9.69947840e-4
5.5645514e-5 -1.64709006e-4
1.32354367e-4
-1.875841e-5