Алгоритмически неразрешимая задача

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

В теории вычислимости алгоритмически неразрешимой задачей называется задача, имеющая ответ да или нет для каждого объекта из некоторого множества входных данных, для которой (принципиально) не существует алгоритма, который бы, получив любой возможный в качестве входных данных объект, останавливался и давал правильный ответ после конечного числа шагов.

Проблемы, касающиеся абстрактных машин[править | править код]

Проблемы, касающиеся матриц[править | править код]

  • Проблема умирающей матрицы: для данного конечного множества квадратных матриц n × n определить, существует ли произведение всех или некоторых из этих матриц (возможно, с повторениями) в каком-либо порядке, дающее нулевую матрицу. Проблема неразрешима даже для n=3 (разрешимость для n=2 является открытым вопросом[2]).[3]
  • Проблема единичной матрицы: для данного конечного множества квадратных матриц n × n определить, существует ли произведение всех или некоторых из этих матриц (возможно, с повторениями) в каком-либо порядке, дающее единичную матрицу. Проблема неразрешима для целочисленных матриц начиная с n=4[4] и разрешима для n=2[5] (разрешимость для n=3 является открытым вопросом). Проблема эквивалентна вопросу, является ли матричная полугруппа группой.
  • Проблема свободности матричной полугруппы алгоритмически неразрешима для целочисленных матриц начиная с n=3 и открыта для n=2.

Другие проблемы[править | править код]

Проблемы, алгоритмическая неразрешимость которых не доказана[править | править код]

Для некоторых задач неизвестен алгоритм, решающий их, и по своей природе они похожи на известные алгоритмически неразрешимые задачи. Вопросы об алгоритмической разрешимости таких задач являются открытыми проблемами. Вот некоторые из таких задач:

  • Аналог десятой проблемы Гильберта для уравнений степени 3
  • Аналог десятой проблемы Гильберта для уравнений в рациональных числах[8]
  • Проблема умирающей матрицы для матриц порядка 2

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

  1. Life Universal Computer
  2. When is a pair of matrices mortal?
  3. Cassaigne, Julien; Halava, Vesa; Harju, Tero & Nicolas, Francois (2014), "Tighter Undecidability Bounds for Matrix Mortality, Zero-in-the-Corner Problems, and More", arΧiv:1404.0644 [cs.DM] 
  4. Paul C. Bell; Igor Potapov. On the Undecidability of the Identity Correspondence Problem and its Applications for Word and Matrix Semigroups (англ.) // International Journal of Foundations of Computer Science (англ.) : journal. — World Scientific, 2010. — Vol. 21.6. — P. 963—978. — DOI:10.1142/S0129054110007660.
  5. Christian Choffrut; Juhani Karhumäki. Some decision problems on integer matrices. (неопр.) // ITA. — 2005. — Т. 39(1). — С. 125—131. — DOI:10.1051/ita:2005007.
  6. Наличие такого архиватора позволило бы вычислить колмогоровскую сложность произвольной строки, что является алгоритмически неразрешимой задачей.
  7. В частности, он заменял бы любой не останавливающийся алгоритм на тривиальный пустой цикл, а распознавание таких алгоритмов эквивалентно проблеме останова и является алгоритмически неразрешимой задачей.
  8. Успенский В. А., Семёнов А. Л. Решимые и нерешимые алгоритмические проблемы. // Квант, 1985, № 7, с. 9 — 15