Алгоритм Джарвиса

Алгоритм Джарвиса (или алгоритм обхода Джарвиса, или алгоритм заворачивания подарка) определяет последовательность элементов множества, образующих выпуклую оболочку для этого множества. Метод можно представить как обтягивание верёвкой множества вбитых в доску гвоздей. Алгоритм работает за время $O(nh)$, где $n$ — общее число точек на плоскости, $h$ — число точек в выпуклой оболочке.

Алгоритм Джарвиса построения выпуклой оболочки

Описание алгоритма

Пусть дано множество точек $P=\{\,p_{1},p_{2},\ldots ,p_{n}\,\}$. В качестве начальной берётся самая левая нижняя точка $p_{1}$ (её можно найти за $O(n)$ обычным проходом по всем точкам), она точно является вершиной выпуклой оболочки. Следующей точкой ($p_{2}$) берём такую точку, которая имеет наименьший положительный полярный угол относительно точки $p_{1}$ как начала координат. После этого для каждой точки $p_{i}$ (2<i<=|P|) против часовой стрелки ищется такая точка $p_{i+1}$, путём нахождения за $O(n)$ среди оставшихся точек (+ самая левая нижняя), в которой будет образовываться наибольший угол между прямыми $p_{i-1}p_{i}$ и $p_{i}p_{i+1}$. Она и будет следующей вершиной выпуклой оболочки. Сам угол при этом не ищется, а ищется только его косинус через скалярное произведение между лучами $p_{i-1}p_{i}$ и $p_{i}p'_{i+1}$, где $p_{i}$ — последний найденный минимум, $p_{i-1}$ — предыдущий минимум, а $p'_{i+1}$ — претендент на следующий минимум. Новым минимумом будет та точка, в которой косинус будет принимать наименьшее значение (чем меньше косинус, тем больше его угол). Нахождение вершин выпуклой оболочки продолжается до тех пор, пока $p_{i+1}\neq p_{1}$. В тот момент, когда следующая точка в выпуклой оболочке совпала с первой, алгоритм останавливается — выпуклая оболочка построена.

Псевдокод

 Jarvis(P)
    1) p[1] = самая левая нижняя точка множества P;
    2) p[2] = соседняя точка от p[1] справа (находится через минимальный положительный полярный угол)
    3) i = 2;
    4) do:
             (a)for для каждой точки j от 1 до |P|, кроме уже попавших в выпуклую оболочку, но включая p[1]
                 p[i+1] = point_with_min_cos(p[i-1], p[i], P[j]); //точка, образующая минимальный косинус с прямой p[i-1]p[i],
             (b)i = i + 1;
       while p[i] != p[1]
    5) return p;

Анализ

Цикл (4) выполнится $h$ раз, при этом цикл (a) каждый раз выполняется за $\Theta (n)$. Все остальные операции выполняются за $O(1)$. Следовательно, алгоритм работает за $\Theta (hn)$ или $\Theta (n^{2})$ в худшем случае, когда в выпуклую оболочку попадут все точки.

См. также

• Алгоритм Грэхема
• Алгоритм Чена

Литература

• Препарата Ф., Шеймос М. Вычислительная геометрия: Введение = Computational Geometry An introduction. — М.: Мир, 1989. — 478 с.
• Ласло М. Вычислительная геометрия и компьютерная графика на C++. — М.: БИНОМ, 1997. — 304 с.
• Т. Кормен, Ч. Лейзерсон, Р. Ривест, К. Штайн. Алгоритмы. Построение и анализ = Introduction to Algorithms. — 2-e изд. — “Вильямс”, 2005. — 1296 с.

Ссылки

• Реализация на c++