Аргументы максимизации и минимизации

Аргуме́нт максимиза́ции (argmax или arg max) — значение аргумента, при котором данное выражение достигает максимума. Другими словами, ${\underset {x}{\operatorname {argmax} }}\,f(x)$ — есть значение $x$, при котором $f(x)$ достигает своего наибольшего значения. Является решением задачи максимизации функции конечного числа аргументов :

${\underset {x}{\operatorname {argmax} }}\,f(x)\quad \in \quad \{x\ |\ \forall y:f(y)\leq f(x)\}$.

Аргумент максимизации определяется единственным образом тогда и только тогда, когда максимум достигается в единственной точке: $x_{0}={\underset {x}{\operatorname {argmax} }}\,f(x)\Leftrightarrow \max f(x)=f(x_{0})$.

Если же максимум достигается в нескольких точках, то argmax может быть расширен до набора решений.

Аргуме́нт минимиза́ции (argmin или arg min) — аргумент, при котором данное выражение достигает минимума:

${\underset {x}{\operatorname {argmin} }}\,f(x)\quad \in \quad \{x\ |\ \forall y:f(y)\geq f(x)\}$.

Примеры

• ${\underset {x\in \mathbb {R} }{\operatorname {argmax} }}(x(10-x))=5$, так как максимум функции, равный 25, достигается при $x=5$;
• ${\underset {x\in [0,4\pi ]}{\operatorname {argmax} }}\,\cos(x)\in \{0,2\pi ,4\pi \}$, так как $\max {\cos x}=1$ на отрезке $[0,4\pi ]$ достигается при $x=0,2\pi ,4\pi$.