Аттрактор Рёсслера

Аттрактор Рёсслера

Аттрактор Рёсслера — хаотический аттрактор, которым обладает система дифференциальных уравнений Рёсслера:

$\left\{{\begin{matrix}{\frac {dx}{dt}}=-y-z\\{\frac {dy}{dt}}=x+ay\\{\frac {dz}{dt}}=b+z(x-c)\end{matrix}}\right.$ ;

где $a,b,c$ — положительные постоянные. При значениях параметров $a=b=0.2$ и $2.6\leq c\leq 4.2$ уравнения Рёсслера обладают устойчивым предельным циклом. При этих значениях параметров в системе происходит каскад удвоения периода. При $c>4.2$ возникает хаотический аттрактор. Чётко определённые линии предельных циклов расплываются и заполняют фазовое пространство бесконечным множеством траекторий, обладающим свойствами фрактала.

Сам Рёсслер изучал систему при постоянных $a=0.2$, $b=0.2$ и $c=5.7$, но также часто используются и значения $a=0.1$, $b=0.1$, и $c=14$.

Анализ поведения системы в плоскости

Два из уравнений системы Рёсслера линейны. При $z=0$ они принимают вид

$\left\{{\begin{matrix}{\frac {dx}{dt}}=-y\\{\frac {dy}{dt}}=x+ay\end{matrix}}\right.$

Поэтому устойчивость движения в плоскости $z=0$ определяется собственными значениями матрицы Якоби ${\begin{pmatrix}0&-1\\1&a\\\end{pmatrix}}$, которые равны ${\frac {a\pm {\sqrt {a^{2}-4}}}{2}}$.

Проекция аттрактора Рёсслера на плоскость $x,y$ при $a=0.2$, $b=0.2$, $c=5.7$. Красная точка в середине спирали и черная точка внизу слева - неподвижные точки системы дифференциальных уравнений Рёсслера.

Когда $0<a<2$, собственные значения имеют положительную вещественную часть и комплексно сопряжены. Поэтому фазовые траектории расходятся от начала координат по спирали. Теперь проанализируем изменение координаты $z$, считая $0<a<2$. Пока $x$ меньше $c$, множитель $x-c$ в уравнении на ${\frac {dz}{dt}}$ будет удерживать траекторию близкой к плоскости $x,y$. Как только $x$ станет больше $c$, $z$-координата начнёт расти. В свою очередь, большой параметр $-z$ начнёт тормозить рост $x$ в ${\frac {dx}{dt}}$.

Неподвижные точки

Уравнения на неподвижные точки можно найти, положив производные в системе уравнений Рёсслера равными нулю. В результате оказывается, что существует две неподвижные точки:

$\left({\frac {c+{\sqrt {c^{2}-4ab}}}{2}},{\frac {-c-{\sqrt {c^{2}-4ab}}}{2a}},{\frac {c+{\sqrt {c^{2}-4ab}}}{2a}}\right)$

$\left({\frac {c-{\sqrt {c^{2}-4ab}}}{2}},{\frac {-c+{\sqrt {c^{2}-4ab}}}{2a}},{\frac {c-{\sqrt {c^{2}-4ab}}}{2a}}\right)$

Как видно на изображении проекции аттрактора Рёсслера выше, одна из этих точек расположена в центре спирали аттрактора, а другая находится далеко от неё.

Изменение параметров a, b и c

Поведение аттрактора Рёсслера в сильно зависит от значений постоянных параметров. Изменение каждого параметра даёт определённый эффект, в результате чего в системе может возникнуть устойчивая неподвижная точка, предельный цикл или решения системы станут "убегать" на бесконечность.

Бифуркационные диаграммы являются стандартным инструментом для анализа поведения динамических систем, в том числе и аттрактора Рёсслера. Они создаются путём решения уравнений системы, где фиксируются две переменные и изменяется одна. При построении такой диаграммы получаются почти полностью «закрашенные» регионы; это и есть область динамического хаоса.

Изменение параметра a

Зафиксируем $b=0.2$, $c=5.7$ и будем изменять $a$.

В итоге опытным путём получим такую таблицу:

• $a\leq 0$: Сходится к устойчивой точке.
• $a=0.1$: Крутится с периодом 2.
• $a=0.2$: Хаос (стандартный параметр уравнений Рёсслера) .
• $a=0.3$: Хаотичный аттрактор.
• $a=0.35$: Аналогичен предыдущему, но хаос проявляется сильнее.
• $a=0.38$: Аналогичен предыдущему, но хаос проявляется ещё сильнее.

Изменение параметра b

Бифуркационная диаграмма для системы Рёсслера для меняющегося $b$

Зафиксируем $a=0.2$, $c=5.7$ и будем менять теперь параметр $b$. Как видно из рисунка, при $b$ стремящемся к нулю аттрактор неустойчив. Когда $b$ станет больше $a$ и $c$, система уравновесится и перейдёт в стационарное состояние.

Изменение параметра c

Бифуркационная диаграмма для системы Рёсслера для меняющегося $c$

Зафиксируем $a=b=0.1$ и будем изменять $c$. Из бифуркационной диаграммы видно, что при маленьких $c$ система периодична, но при увеличении быстро становится хаотичной. Рисунки показывают, как именно меняется хаотичность системы при увеличении $c$. Например при $c$ = 4 аттрактор будет иметь период равный единице, и на диаграмме будет одна единственная линия, то же самое повторится когда $c$ = 3 и так далее; пока $c$ не станет больше 12: последнее периодичное поведение характеризуется именно этим значением, дальше повсюду идёт хаос.

Приведём иллюстрации поведения аттрактора в указанном диапазоне значений $c$, которые иллюстрируют общее поведение таких систем — частые переходы от периодичности к динамическому хаосу.

Variations in the post-transient Rössler system as $c$ is varied over a range of values.

См. также

• Аттрактор Лоренца

Ссылки

• Флэш-анимация
• O.E. ROSSLER — AN EQUATION FOR CONTINUOUS CHAOS (недоступная ссылка)
• Java-анимация аттракторов Рёсслера и Лоренца Архивировано 11 марта 2008 года.
• Конструктор аттракторов для MacOS
• Аттрактор Рёсслера на Scholarpedia.org

Литература

• Воронов В. К., Подоплелов А. В. Современная физика: Учебное пособие. М., КомКнига, 2005, 512 с., ISBN 5-484-00058-0, гл. 2 Физика открытых систем. п.п 2.4 Хаотический аттрактор Рёсслера.