Аттрактор Рёсслера

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Аттрактор Рёсслера

Аттрактор Рёсслера — хаотический аттрактор, которым обладает система дифференциальных уравнений Рёсслера[1]:

 ;

где  — положительные постоянные. При значениях параметров и уравнения Рёсслера обладают устойчивым предельным циклом. При этих значениях параметров период и форма предельного цикла совершают последовательность удвоения периода. Сразу же за точкой возникает явление хаотического аттрактора. Чётко определённые линии предельных циклов расплываются и заполняют фазовое пространство бесконечным счетным множеством траекторий, обладающим свойствами фрактала.

Сам Рёсслер изучал систему при постоянных , и , но также часто используются и значения , , и [2].

Иногда аттракторы Рёсслера строятся для плоскости, то есть с .

Устойчивые решения для могут быть найдены вычислением собственного вектора матрицы Якоби вида , для которой .

plane of Rössler attractor with , ,
Аттрактор Рёсслера как стереограмма с , ,

Отсюда видно, что когда , собственные вектора являются комплексными и имеют положительные вещественные компоненты, что и делает аттрактор неустойчивым. Теперь будем рассматривать плоскость в том же диапазоне . Пока меньше , параметр будет удерживать траекторию близкую к плоскости . Как только станет больше , -координата начнёт увеличиваться, а чуть позже параметр будет тормозить рост в .

Точки равновесия[править | править вики-текст]

Для того, чтобы найти точки равновесия, три уравнения Рёсслера приравниваются нулю и -координаты каждой точки равновесия находятся путём решения полученных уравнений. В итоге:

Как показано в общих уравнениях аттрактора Рёсслера, одна из этих неподвижных точек находится в центре аттрактора, а другие лежат сравнительно далеко от центра.

Изменение параметров a, b и c[править | править вики-текст]

Поведение аттрактора Рёсслера в значительной степени зависит от значений постоянных параметров. Изменение каждого параметра даёт определённый эффект, в результате чего система может сойтись к периодической орбите, к неподвижной точке или устремиться в бесконечность. Количество периодов аттрактора Рёсслера определяется числом его витков вокруг центральной точки, которые возникают перед серией петель.

Бифуркационные диаграммы являются стандартным инструментом для анализа поведения динамических систем, в которые включён и аттрактор Рёсслера. Они создаются путём решения уравнений системы, где фиксируются две переменные и изменяется одна. При построении такой диаграммы получаются почти полностью «закрашенные» регионы; это и есть область динамического хаоса.

Изменение параметра a[править | править вики-текст]

Зафиксируем , и будем изменять .

В итоге опытным путём получим такую таблицу:
  • : Сходится к устойчивой точке.
  • : Крутится с периодом 2.
  • : Хаос (стандартный параметр уравнений Рёсслера) .
  • : Хаотичный аттрактор.
  • : Аналогичен предыдущему, но хаос проявляется сильнее.
  • : Аналогичен предыдущему, но хаос проявляется ещё сильнее.

Изменение параметра b[править | править вики-текст]

Bifurcation diagram for the Rössler attractor for varying

Зафиксируем , и будем менять теперь параметр . Как видно из рисунка, при стремящемся к нулю аттрактор неустойчив. Когда станет больше и , система уравновесится и перейдёт в станционарное состояние.

Изменение параметра c[править | править вики-текст]

Bifurcation diagram for the Rössler attractor for varying

Зафиксируем и будем изменять . Из бифуркационной диаграммы видно, что при маленьких система периодична, но при увеличении быстро становится хаотичной. Рисунки показывают, как именно меняется хаотичность системы при увеличении . Например при = 4 аттрактор будет иметь период равный единице, и на диаграмме будет одна единственная линия, то же самое повторится когда = 3 и так далее; пока не станет больше 12: последнее периодичное поведение характеризуется именно этим значением, дальше повсюду идёт хаос.

Приведём иллюстрации поведения аттрактора в указанном диапазоне значений , которые иллюстрируют общее поведение таких систем — частые переходы от периодичности к динамическому хаосу.

Variations in the post-transient Rössler system as '"`UNIQ--postMath-00000044-QINU`"' is varied over a range of values.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Peitgen, Heinz-Otto; Jürgens, Hartmut & Saupe, Dietmar (2004), "12.3 The Rössler Attractor", Chaos and Fractals: New Frontiers of Science, Springer, сс. 636–646 .
  2. Letellier, C.; V. Messager (2010). «Influences on Otto E. Rössler’s earliest paper on chaos». International Journal of Bifurcation & Chaos 20 (11): 3585–3616.

Ссылки[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Воронов В. К., Подоплелов А. В. Современная физика: Учебное пособие. М., КомКнига, 2005, 512 с., ISBN 5-484-00058-0, гл. 2 Физика открытых систем. п.п 2.4 Хаотический аттрактор Рёсслера.