Википедия:Кандидаты в избранные статьи/Апории Зенона

Кандидат в избранные статьи

Правила обсуждения На этой странице обсуждается кандидат в избранные статьи русской Википедии. В ходе обсуждения может быть принято решение о её номинации в хорошие. Вниманию обсуждающих От принимающих участие в обсуждении ожидается ответственность в своём выборе: перед голосованием прочитайте статью полностью. При обсуждении, пожалуйста, придерживайтесь следующих принципов: Не пишите, что статья или тема статьи не интересна вам или кому-то ещё — с этим ничего не поделаешь: у людей могут быть разные предпочтения. Неаргументированные голоса «против» являются неконструктивными и будут проигнорированы; Не пишите, что статья написана хорошо, но из-за темы ей не место на заглавной странице: важна не тема, а качество статьи; Обязательно подписывайтесь; Если вы хотите отозвать свои замечания (например, потому что недочёты были исправлены), зачеркните их (<s></s>), но не удаляйте; Если вы сделали замечание по поводу кандидата, посматривайте на его подстраницу, чтобы вовремя зачеркнуть своё замечание, когда недочёт будет устранён; Соблюдайте спокойствие и доброжелательное отношение к авторам статьи и участникам её обсуждения. Зачастую автор сильно привязан к своему творению, и излишне резкие и/или необоснованные замечания могут его задеть. Критика приветствуется, но будьте конструктивны и корректны. Вниманию номинаторов статей Для номинации статьи в Избранные добавьте в её конец (перед категориями) строку {{subst:КИС}}; Будьте внимательны к критике, прислушивайтесь к аргументам и старайтесь доработать статью в процессе обсуждения; Несмотря на стресс, постарайтесь избегать нападок на обсуждающих: за многократное нарушение ВП:ЭП в обсуждении оно может быть закрыто, а статья отправлена на доработку; Если статья уже являлась кандидатом, но была отправлена на доработку по любой причине, нужно предоставить ссылку на предыдущее обсуждение. Процедура обсуждения Если вы считаете, что статья достойна статуса избранной, нажмите надпись править справа от заголовка «За», проставьте под заголовком (или под оценкой предыдущего участника) нумерованный шаблон {{За}}, поясните причины вашего решения, подпишитесь при помощи четырёх тильд и сохраните страницу. # {{За}}. Отличная статья. Тема раскрыта полностью. ~~~~   → 1. За. Отличная статья. Тема раскрыта полностью. Пьер Безухов 23:59, 31 декабря 2011 (UTC) Если вы считаете, что статья не достойна статуса избранной, нажмите надпись править справа от заголовка «Комментарии», укажите конкретные недочёты статьи, подпишитесь при помощи четырёх тильд и сохраните страницу. #. Тема раскрыта не полностью, не рассказано о роли шушпанчиков в современном искусстве. Статья нуждается в доработке. ~~~~   → 1. Тема раскрыта не полностью, не рассказано о роли шушпанчиков в современном искусстве. Статья нуждается в доработке. Наташа Ростова 23:59, 31 декабря 2011 (UTC) Если вы хотите прокомментировать статью или ход её обсуждения, нажмите надпись править справа от заголовка «Комментарии», проставьте под заголовком (или под комментарием предыдущего участника) нумерованный шаблон {{Комментарий}}, введите текст вашего комментария, подпишитесь при помощи четырёх тильд и сохраните страницу. # {{Комментарий}} Хочу заметить, что... ~~~~   → 1. Комментарий: Хочу заметить, что... Поручик Ржевский 23:59, 31 декабря 2011 (UTC)

Здесь находятся завершившиеся обсуждения. Просьба не вносить изменений.

Апории Зенона

О парадоксе «Ахиллес и черепаха», наверное, слышали все, но часто его, а заодно и другие рассуждения Зенона воспринимают как шуточные софизмы и недоумевают, отчего более 2000 лет серьёзные люди ведут дискуссии на эту тему. Я хотел показать в данной статье, опираясь на мнение авторитетных физиков, математиков и философов, что эти древние парадоксы представляют не только исторический интерес, но тесно связаны с нерешёнными задачами современной науки. Текст (кроме заключённого в кавычки ) практически полностью мой, библиографию статей подготовил А. И. Щетников. Статья прошла рецензирование с 12 по 25 января 2011 г. LGB 12:26, 25 января 2011 (UTC)

Здесь находятся завершившиеся обсуждения. Просьба не вносить изменений.

За (Апории Зенона)

1. За. Считаю, что статья достойна, никаких замечаний не имею. --VAP+VYK 19:37, 25 января 2011 (UTC)
2. В избранные--Dmartyn80 19:46, 25 января 2011 (UTC)

   А по объёму проходит? В смысле, не "завалят" из-за этого на КИС? --VAP+VYK 19:47, 25 января 2011 (UTC)

   Будем бороться. Низами и Гапон меня в этом смысле до ручки довели! Я, знаете, в Вики пришёл не диссертации писать, и не желаю их читать.--Dmartyn80 20:27, 25 января 2011 (UTC)

   Есть ещё вот что "Википедия:Размер статей". Ничего там насчёт объёма ИС не сказано.--Dmartyn80 20:32, 25 января 2011 (UTC)

   Пункт №5 требований говорит о минимальной границе 55 кб, так что формально подходит --Юрий 21:48, 25 января 2011 (UTC)

3. За отличная образцово-энциклопедическая статья. --Dmitry Rozhkov 14:13, 26 января 2011 (UTC)
4. За. — † 01:35, 27 января 2011 (UTC)
5. За. Качественная и интересная работа. Huller 10:46, 1 февраля 2011 (UTC)
6. За. Очень достойно -- deerstop. 13:09, 1 февраля 2011 (UTC)

Против (Апории Зенона)

Итог (Апории Зенона)

Замечания можно исправить в процессе доработки, перенесена на КИС. Victoria 17:07, 2 февраля 2011 (UTC)

Поддерживаю

1. За. Уровень статьи высокий, работа проделана большая. Что же касается споров, то в статье на эту тему они неизбежны — тема, похоже, вечная... Возможно, некоторым недостатком является как раз то, что не отображено именно противоречивость мнений современных авторов на статус парадоксов. Dmitri Klimushkin 12:21, 6 февраля 2011 (UTC)

   Сделано. Расширил список цитируемых авторов и их мнений. LGB 13:12, 26 февраля 2011 (UTC)

2. За, но со скрипом. dima 04:39, 11 февраля 2011 (UTC)

Возражаю

1. Против.

• Статья требует подробной вычитки и проверки по ссылкам, как на предмет аутентичности, так и авторитетности (см. комментарии в секции Как математик математикам).
• В списке литературы только советские авторы. А где же крупные математики, логики, философы, рассматривающие этот вопрос?

Divot 12:44, 3 февраля 2011 (UTC)

Комментарии

• А сразу в избранные не хотите?--Dmartyn80 12:48, 25 января 2011 (UTC)

  Как общественность решит. LGB 13:06, 25 января 2011 (UTC)

• Ну, в избранные рановато. Не учтена монография В. Я. Комаровой (Издательство ЛГУ, 1988) - единственная на русском языке специально о Зеноне. Формулировки апорий нужно давать без всяких километров - нужно же минимальный историзм соблюдать ;) Не упоминается разбор у Бергсона (хотя, на мой взгляд, он чувствует суть проблемы много хуже Аристотеля, но всё же). Так что доработок еще много. --Chronicler 18:26, 26 января 2011 (UTC)

Продолжу. На мой взгляд, нужно поменять структуру: из того, что апории о движении более известные, не следует рассматривать остальные лишь как "приложение" - то есть в первом разделе дать цельную реконструкцию идей Зенона, во втором разделе изложить их античные толкования, а далее современные. А вообще здесь много интересных вопросов: как сам Зенон относился к своим апориям, верна ли их интерпретация Платоном и платониками? почему апорий сорок, случайно ли это число? можно ли его увеличивать произвольно в риторических целях, или же напротив, все апории строго взаимосвязаны и по сути выражают одну мысль? когда именно в Новое время возрождается интерес к апориям Зенона? --Chronicler 18:45, 26 января 2011 (UTC)

Километры устранены (тут меня опередили). Комарову я сейчас внимательно изучаю, все интересные мысли постараюсь отразить в ходе доработки статьи. Бергсон, как я понимаю, фактически предложил заменить моменты на интервальные числа, но тогда рушится вся аналитическая теория движения, да и вообще философское исследование физической проблемы мало плодотворно.

Число апорий в разных источниках называется разное: то 40, то 45. Я полагаю, что весь комплекс апорий Зенона был задуман как единое целое, но фактически мощный научный контекст обрели только 3 из них, и это не случайно — именно в них Зенон, намеренно или нечаянно, нащупал нервный центр всей физики. Поэтому я и решил не смешивать их в одну кучу, а наиболее подробно выставить самые актуальные. LGB 12:27, 28 января 2011 (UTC)

Сделано Вставил информацию из книги Комаровой, чуть позже будет ещё содержательная вставка. Уточнил источники по числу апорий. LGB 13:50, 20 февраля 2011 (UTC)

Юрий

• Первое, что вспомнил когда прочитал преамбулу, так это историю о ходящем около Зенона оппоненте в то время как тот рассказывал про то, что движения не существует. Возможно я проглядел, но в статье этого не отметил. При этом в стихотворении Пушкина данная история также есть. Считаю целесообразным выделить в отдельный подраздел. --Юрий 18:17, 25 января 2011 (UTC)

  Как, а это? :) --VAP+VYK 19:36, 25 января 2011 (UTC)

  Помню даже источник - Книга Таранова 106 философов. Там этот эпизод был написан и разобран более подробно. Завтра-послезавтра найду текст и выложу здесь. Суть вопроса заключалась в том, что подраздел описывающий этот эпизод отсутствует. А именно он весьма подходит к критике — "критике действием". Найду выложу. --Юрий 21:26, 25 января 2011 (UTC)

  Нашёл. Информация приводится по П. С. Таранов. 106 философов. — Симферополь: "Таврия", 1995. — Т. 1. — 464 с. — (Анатомия мудрости). — 10 000 экз. — ISBN 5-7780-0742-6.. Далее буду приводить только страницы.

"Аргумент ногами"
Будучи не в состоянии ответить на ниспровергающие доказательства по поводу возможности движения, Антисфен, разгорячённый несогласием, начал в возбуждении ходить перед слушателями, приговаривая, что одно уже это наглядное действие сильнее любого возможного словесного возражения. с. 203

Аргумент имеет даже своё название — "аргумента ногами". Критика существенна и как по мне требует выделения.

Идём далее. В главе посвящённой Зенону имеется и критика его апорий.

Почему вы говорите, что нельзя быть неделимым? А цвет! Почему вы говорите, что неделимое не существует? А цвет! Почему вы утверждаете, что всё должно иметь величину? А цвет! Почему вы говорите, что нельзя состоять из неделимых? А свет! Вводить понятие неделимости равносильно тому, чтобы вводить понятие небытия. И то, и другое не вытекает никак из нашего опыта, и, следовательно, разумно. с. 140

Возьмём, к примеру, чьё-то утверждение: "Я ломаю стену". То есть человек, производя действия по разборке здания, произносит эту фразу. Вот он снял первый верхний слой камней и говорит: "Я ломаю стену", второй слой, третий и так далее, и приговаривает: "Я ломаю стену". Разумеется он вправе и ломать, и говорить так, как им это говорится.
Но хотелось бы вот на чём заостриться. Ведь что самое "стена"? Это преграда, отделяющая помещение или от других помещений, или от внешней среды. Очевидно, что на каком-то слое камней от низа понятие "преграда" исчерпает себя и у нас хотя и будет какая-то ещё изгородь, но "преграды" уже не будет.
Продолжая приговаривать "Я ломаю стену", наш разрушитель ломает не только строение, но и пределы действия понятия "преграда", и в какой-то момент это понятие теряет объект приложимости.
Зенон пользуется понятием, правда, другим — "расстояние". Естественно, что, пока между Ахиллесом и черепахой метры и километры, можно говорить, что они отделены друг от друга тем, что описывается словом "расстояние", то есть в пространственно недосягаемом континууме.
Но если Ахиллес приблизится к черепахе настолько, что будет нависать над ней, и между его телом и черепахой будут лишь микроны или меры молекулярной длины, то какое же это "расстояние"?! с. 141—142

Я привёл информацию всего лишь из одного источника, специально не закапываясь вглубь. Таких источников — книг по философии — согласитесь масса. И в них, естественно, критика апорий Зенона приводится, причём более обоснованно и профессионально.

Что же имеем в статье. Раздел критики присутствует лишь во 2-м разделе и то касается лишь Аристотеля. А где "аргумент ногами" Антисфена. Также считаю необходимым вычленить раздел "Критика", который можно насытить современными критическими опровержениями. В современной версии статьи имеем «не опровергнута до сегодняшнего дня» В этих «опровержениях», однако, подменяется суть спора «Остаётся неизбежное расхождение между интуитивной идеей и точным математическим языком, предназначенным для того, чтобы описывать её основные линии в научных, логических терминах. Парадоксы Зенона ярко обнаруживают это несоответствие.» и т.д., что критикой по своей сути не является.

При этом стоит особо отметить потрясающее оформление статьи. При выделении "аргумента ногами" буду За, а для КИС считаю, что необходим полновесный "критический раздел".

С уважением --Юрий 10:27, 26 января 2011 (UTC)

Уважаемый Юрий, я внимательно прочитал Ваши замечания, но не очень понял, что именно Вы хотите добавить. По всем парадоксам, кроме парадоксов движения, критические замечания приведены. Что касается трёх апорий движения, то они, в отличие от прочих, являются физическими парадоксами. Математическая критика для них, как поясняется в статье, бессмысленна, а философская — нелепа. Вы пишете: Таких источников — книг по философии — согласитесь масса. И в них, естественно, критика апорий Зенона приводится, причём более обоснованно и профессионально. Здесь как с лекарствами от конкретной болезни — чем их больше, тем понятнее, что всем им грош цена.

Остаётся критика физическая. В статье приведено единственное обоснованное критическое возражение, которое на данный момент физики могут выдвинуть — пространство и время дискретны, и бесконечности в природе не существует. Другой физической критики я не встречал, да и эта пока что гипотеза. Если бы аргументированная физическая критика апорий существовала, дискуссии на эту тему, согласитесь, немедленно бы прекратились. На деле физикам для завершения анализа парадоксов Зенона не хватает главного — ясного понимания природы времени.

Что касается «аргументации ногами», то это не более чем малодостоверный исторический анекдот неизвестного автора, имеющий много разных версий и близкую к нулю энциклопедическую значимость. Обратите внимание, что и Пушкин ехидно насмехается над «аргументом ногами». Серьёзным возражением он не является по двум причинам: (1) шастающий туда-сюда философ может также считаться ложной видимостью; (2) как указано в статье, многие философы считают, что элеаты отрицали не само движение, а наше представление о нём. Поэтому, по-моему, дублировать пушкинский текст анекдота ещё раз вряд ли разумно. LGB 12:17, 26 января 2011 (UTC)

Уважаемый Леонид Григорьевич! Вы действительно написали прекрасную статью. Однако постараюсь обосновать свои замечания. При этом сразу приношу извинения, если некоторые фразы Вам покажутся дилетантскими (всё может быть). В ответе Вы пишете "По всем парадоксам, кроме парадоксов движения, критические замечания приведены.". Речь же в моём комментарии и шла о парадоксах движения, о которых как Вы и говорите замечания не приведены. Выходит так. Далее, "аргумент ногами" является самой старой (даже если его автор и не Антисфен) и понятной критикой парадоксов движения. Не могу с Вами согласиться, что Пушкин ехидно насмехается. Читаем оригинал:

— Другой смолчал и стал пред ним ходить.
Сильнее бы не мог он возразить;
Хвалили все ответ замысловатый.

При этом правда случай назван "забавным". При неверных предпосылках идут неверные выводы, как и в данном случае. Не могу я прийти к финишу первее олимпийского чемпиона по бегу, даже если он даст мне 100 метров форы (на дистанциях более 100 м ). Это понятно. Это и есть "аргумент ногами". Несостоятельность математической и физической критики делает данный аргумент ещё более заслуживающим внимания, так как показывает несостоятельность изначальных предпосылок физиков и математиков. Поэтому, моё мнение, утверждать "Серьёзным возражением он не является" не совсем верно. О первом пункте умолчу, так как он уводит в те "дебри" в которых я не силён. На второй пункт отвечают законы Ньютона (1-й), системы отсчёта, равнодейственные силы, движение относительно движущегося предмета и т.д. (к этим выводам элеаты возможно и подходили). Ещё раз извиняюсь, если допустил в комментарии какую-либо грубую огрешность. Но смысл я думаю понятен. С уважением --Юрий 14:07, 26 января 2011 (UTC)

Давайте сразу уточним, какая критика имеется в виду. Зенон не был идиотом, и он наверняка не имел никаких сомнений, что движение возможно, а Ахиллес обгонит черепаху. Смысл его парадоксов не в том, чтобы дать решение проблемы, а в том, чтобы поставить проблему. Он же доказывал «от противного» — ведь, обратите внимание, он пользовался в своих рассуждениях научными понятиями своих противников, которые сам он считал сомнительными (точки-моменты, неограниченная делимость и др.). Поэтому критика его парадоксов должна состоять не в том, чтобы опровергнуть заведомо дикий результат, а в том, чтобы заменить плохую научную модель движения на хорошую, в которой движение свободно от логических противоречий. Эта задача в физике пока не решена, вот почему апории Зенона постоянно обсуждаются. Таким образом, парадоксы Зенона — это постановка задачи, а критиковать постановку так же странно, как критиковать условие теоремы Пифагора. Что касается рассуждений Зенона, то большинство изученных мной физиков и философов (хотя и не все) считает их логически безупречными.

Пушкин пишет: Сильнее бы не мог он возразить — то есть на большее у противника Зенона ума не хватило. Дальше Пушкин ясно указывает на ничтожность «аргумента ногами», ссылаясь на то, что видимое нами движение Солнца ничего не доказывает, и «прав Галилей», то есть движемся мы, а не Солнце.

Далее, если я правильно понял, Вы ссылаетесь на то, что в физике есть развитая и проверенная на практике теория движения. Это верно, если выполнены 2 условия: (1) требуемая нами точность теории не слишком высока (человеческих масштабов); (2) в теории не участвуют слишком малые длины или интервалы времени. Нет оснований полагать, что в глубоком микромире пространство-время устроено по привычным нам моделям, и, скорее всего, это не так. LGB 18:09, 26 января 2011 (UTC)

Стоп. Зенон не был идиотом — согласен от и до. При этом согласитесь, что Протагор и другие софисты также не были идиотами, но при этом высказывали софизмы, которые всерьёз никто сейчас не рассматривает. В Древней Греции тех времён доказательство считали важнее здравого смысла, поэтому софисты и чувствовали себя довольно неплохо выступая в судах доказывая, что белое это чёрное и т.д. Во времена сикофантов их труд был весьма востребован.

Идём далее. критика его парадоксов должна состоять не в том, чтобы опровергнуть заведомо дикий результат, а в том, чтобы заменить плохую научную модель движения на хорошую — выходит, так и нужно написать "результат дикий и неправильный, что доказывает "аргумент ногами", но современная научная модель исходя из своих начальных предпосылок этого сделать не может, что свидетельствует об их уязвимости и несовершенности". На эту мысль как раз и уйдёт целый раздел с учётом ссылок, "научных моделей" и т.д. По-моему логично и понятно. К тому же критиковать теорему Пифагора никто не собирался.

Далее о Пушкине. Сильнее бы не мог он возразить — можно трактовать по Вашему, а можно и по моему. То есть, Вы считаете, что на большее ума не хватило, я же склонен к торжеству очевидности (надеюсь, Вы как Диоген не побьёте меня палкой) заранее извиняюсь если юмор покажется Вам неуместным. Далее Вы пишете Нет оснований полагать, что в глубоком микромире пространство-время устроено по привычным нам моделям, и, скорее всего, это не так. — вот именно это я и хотел бы видеть в статье. Повторяюсь — имеется парадокс, который легко и ежедневно опровергается "аргументом ногами", при этом теория его опровергнуть не может, что свидетельствует о несовершенности теории. Ссылки и научные обоснования Вы поставите намного лучше меня. С уважением --Юрий 21:06, 26 января 2011 (UTC)

Есть предложение перенести нашу дискуссию на страницу обсуждения статьи, чтобы не загромождать данный раздел. В ожидании Вашего согласия или несогласия продолжу.

Вы предлагаете вставить и развить мысль: современная научная модель исходя из своих начальных предпосылок этого сделать не может, что свидетельствует об их уязвимости и несовершенности. Так ведь 2 раздела статьи — Современная трактовка и Историческая роль — как раз и развивают эту мысль. Неужели я настолько смутно её там выразил?

О первой строфе Пушкина можно спорить, но смысл второй предельно ясен: очевидность не убеждает, она может сбивать с толку. В сопоставлении с первой строфой это означает, что диогенов аргумент Пушкина не убеждает. LGB 12:49, 27 января 2011 (UTC)

В принципе я не против, хотя и являюсь сторонником обсуждения на специально предназначенных для этого страницах. Далее выставление на КХС предполагает доработку и улучшение статьи. 2 указанных раздела я прочитал более внимательно. Да это так — описано, но ... суть парадоксов состоит в неадекватности непрерывной, бесконечно делимой математической модели, с одной стороны, и физически дискретной материи Вы меня извините, но я, как наверно и большинство, не знаю, что такое "дискретная материя". Можно заменить на понятные термины. математическое пространственно-временное представление движения имеет физическое значение для произвольно малых интервалов пространства и времени для любого ненулевого интервала пространства и времени нетрудно указать следующий за ним интервал, то для точки (или момента) невозможно указать следующую за ней точку,. Одним словом этот раздел ИМХО, как по мне, написан непонятно.

Далее, про "аргумент ногами". Понимаю Вашу позицию, про суть проблемы и дикость результата. При этом, он ("аргумент ногами") достаточно широко известен и имеет конкретное приложение к апориям Зенона. Соответственно, его считаю указать необходимо, пояснив суть и неправильность его постановки.

Вы предложили не загромождать данный раздел. Согласен! Я высказал свою позицию, Вы свою. Статью написали Вы очень хорошо. Если мои замечания и предложения будут учтены, то я естественно буду За, если нет, то просто воздержусь. Аргументация сторон понятна. Чтобы не было круговой дискуссии предлагаю остановиться. --Юрий 14:18, 27 января 2011 (UTC)

Сделано В преамбуле изложил спор с Антифоном в изложении Элиаса. LGB 13:50, 20 февраля 2011 (UTC)

Как математик математикам

В парадоксе об Ахиллесе не нашел корректного описания математического решения парадокса. Во времена Зенона не знали о бесконечных рядах, а тем паче об их сходимости. Предложенный Зеноном ряд сходится, следовательно говорить о том, что "Процесс будет продолжаться до бесконечности, Ахиллес так никогда и не догонит черепаху" после открытия сходящихся рядов стало некорректно. Divot 11:39, 3 февраля 2011 (UTC)

Я не уделил внимания математическим опровержениям парадоксов Зенона по той простой причине, что математических опровержений парадоксов Зенона не существует. Есть попытки опровержения, и если бы они были убедительны, то обсуждение вопроса, согласитесь, немедленно прекратилось бы — против математики спорить не принято. Кстати, сходящиеся ряды были известны и древним грекам (даже до Архимеда, который виртуозно с ними работал). Всё дело в том, что ряд, участвующий в парадоксе об Ахиллесе, есть искусственное математическое построение, подразумевающее бесконечную делимость времени, и Зенон поставил вопрос о том, насколько это соответствует действительности. Пока физика (физика, а не математика) не дала ясного ответа но этот вопрос, все математические опровержения апорий бессмысленны. Кстати, многие математики (те же Гильберт и Бурбаки) с этим согласны. LGB 12:37, 3 февраля 2011 (UTC)

"если бы они были убедительны, то обсуждение вопроса, согласитесь, немедленно прекратилось бы — против математики спорить не принято" - утверждение не соответствует действительности. Во-первых, сегодня /существует на математика, а много разных математик (лигицизм, интуиционистская математика и прочая) которые спорят даже между собой до хрипоты. В рамках этих математик разные парадоксы получают разные решения, или вообще не получают таковых. Во-вторых, математика это один из методов описания действительности, а не "последний аргумент" чтобы после него прекращались споры. В третьих, если кто-то считает что математическим методом эту проблему решить можно, а ниже приведены Курант с Робинсоном (уверяю вас, авторитет Куранта с авторитетом Гайденко и Маковельским просто несопоставим, дистанция огромного размера), то это необходимо отразить в статье. Ну и в-четвертых, вы сами Гильберта и Бурбаки читали или делаете выводы из публикации в интернете статьи Анисова? Divot 12:53, 3 февраля 2011 (UTC)

Мысль о сходящихся рядах как-то невнятно высказана в предложении "Довольно часто появлялись (и продолжают появляться) попытки математически опровергнуть рассуждения Зенона..." которое ссылается на Маковельский, Александр Осипович и ALBA PAPA-GRIMALDI. Маковельский - советский философ который писал исключительно в парадигме марксистско-ленинской философии, да и вообще уровень советской философии был удручающе низок, так что было бы крайне желательно для разборе столь принципиального вопроса обращаться к более авторитетным источникам. Что касается ALBA PAPA-GRIMALDI. Я нашел его рекламу, из неё совершенно непонятно кто он такой. Не приведено место работы и научные регалии. Список литературы увенчан единственной рецензией "Tim Crane. Reader in Philosophy, University College London", характеризующей книгу Папа-Гримальди как "provocative treatise which makes a challenging and original contribution to the philosophical debates about the nature of time, change and event". В таком виде это явно не АИ для описания математического опровержения парадокса. С моей точки зрения тут нет ни описания математического опровержения, ни авторитетных источников, где это можно было бы почерпнуть. Divot 11:39, 3 февраля 2011 (UTC)

Маковельский — признанный специалист по античной философии, получил образование до революции, и я не вижу оснований не доверять ему в этой области. Альба Папа-Гримальди — итальянка, доктор наук, работает в Лондоне; см., например, тут:

Alba Papa-Grimaldi graduated in history and philosophy from the University of Naples, Italy, and carried out her PhD at the Department of Philosophy, University College London (UCL). Her thesis was developed into her first book Time and Reality, published in 1996.

LGB 13:31, 3 февраля 2011 (UTC)

Учитывая что о парадоксах Зенона писали такие выдающиеся математики как Курант и Рассел (кстати, в статье почему-то о нем только со ссылкой на какого-то Ивина. А как же работа Рассела 1914 года "The problem of infinity considered historically", где он подробно рассматривает парадоксы Зенона?), то мне не кажется что мнение преподавателя философии из Лондона и советского философа достаточно чтобы их проигнорировать. Это не то что разный масштаб людей, это просто разные планеты. Divot 16:51, 3 февраля 2011 (UTC)

Цитата Гильберта и Бернайса почему-то ссылается на текст Апории Зенона А. М. Анисова из "Апории Зенона и проблема движения // Труды научно-исследовательского семинара Логического центра Института философии РАН / РАН. Ин-т философии, Обществ. ин-т логики, когнитологии и развития личности. — М., 2000. — Вып. 14 / Редкол.: А. С. Карпенко (отв. ред.) и др. — Стр. 139—153.". Вообще говоря, в таком случае необходимо ссылаться на работу самих Гильберта и Бернайса, смотреть в каком контексте они пишут об апории Зенона, что еще они об этом говорят, какие решения предлагают. Статья же фактически ссылается на комментарий Анисова, но подает это как мнение Гильберта и Бернайса. По остальным ссылкам не смотрел, необходимо проверить чтобы там также не было подобного. Divot 11:39, 3 февраля 2011 (UTC)

Вообще-то я даю именно прямую ссылку на оригинал: Гильберт Д., Бернайс П. Основания математики. Логические исчисления и формализация арифметики. — М.: 1979. — С. 40. Гиперссылка на warrax.net там действительно не слишком нужна, так что я её убрал, чтобы не возникало лишних вопросов. LGB 13:04, 3 февраля 2011 (UTC)

См. ниже. Divot 13:13, 3 февраля 2011 (UTC)

Далее, смотрим абзац который ссылается на Курант Р., Роббинс Г. "Что такое математика".

Серьёзные исследования апорий Зенона рассматривают физическую и математическую модели совместно. Р. Курант и Г. Роббинс полагают, что для разрешения парадоксов необходимо существенно углубить наше понимание физического движения[18]. С течением времени движущееся тело последовательно проходит все точки своей траектории, однако если для любого ненулевого интервала пространства и времени нетрудно указать следующий за ним интервал, то для точки (или момента) невозможно указать следующую за ней точку, и это нарушает последовательность. «Остаётся неизбежное расхождение между интуитивной идеей и точным математическим языком, предназначенным для того, чтобы описывать её основные линии в научных, логических терминах. Парадоксы Зенона ярко обнаруживают это несоответствие.»

Курант с Гильбертом пишут совершенно обратное.

• На странице 332 они приводят парадокс Зенона при обсуждении предела функции и именно там пишут "Остается неизбежное расхождение между интуитивной идеей и точным математическим языком, предназначенным для того, чтобы описывать ее основные линии в научных, логических терминах. Парадоксы Зенона ярко обнаруживают это несоответствие". Они вовсе не подвергают сомнению математическое решение парадокса, а только указывают что это решение было найдено в рамках концепции математического предела. Вот точная цитата авторов из начала этой главы

Замечания по поводу понятия предела. e-d-определение предела—результат столетних попыток и блужданий; оно кратко воплощает результат неустанных усилий поставить понятие предела на здоровую математическую основу. Важнейшие понятия анализа — производная и интеграл — могут быть определены не иначе, как с помощью перехода к пределу. Но ясное понимание и строгое определение самого понятия предела долгое время казались непреодолимо трудными.

Как видно, если прочитать главу целиком то получается совсем иное чем написанное в статье. Ощущение, что автор статьи искал в тексте слово "Зенон" и смотрел только абзацы, включающие это слово. Кстати, на следующей странице читаем:

Более того, только такое статическое определение позволяет подвергнуть точному математическому анализу само непрерывное движение и разрешает парадоксы Зенона, по крайней мере в той их части, которая относится к математике.

Divot 11:39, 3 февраля 2011 (UTC)

Я не хотел давать слишком длинных цитат и поэтому пересказал Куранта своими словами. Но смысл именно такой:

Однако еще со времен Зенона и его парадоксов все попытки дать точную математическую формулировку интуитивному физическому или метафизическому понятию непрерывного движения были безуспешными. Нет затруднений в продвижении шаг за шагом по дискретной последовательности значений. Но когда приходится иметь дело с непрерывной переменной х, пробегающей целый интервал значений на числовой оси, то описание того, как x «приближается» к заданному значению «x_1», затруднено тем, что принимаемые значения из интервала не могут быть указаны последовательно в порядке их возрастания. В самом деле, точки прямой представляют везде плотное множество, и не существует точки, «следующей» за данной.

Сравните с моим пересказом. По-моему, я нигде не переврал. И обратите внимание на честную оговорку авторов: разрешает парадоксы Зенона, по крайней мере в той их части, которая относится к математике. Авторы отлично понимают, что одной математикой тут не обойтись. LGB 13:04, 3 февраля 2011 (UTC)

Сравнил. Остаюсь при своем мнении что переврали, а скорее всего просто переписали откуда-то мнение о Куранте, не удосужившись проверить в оригинале. Divot 13:15, 3 февраля 2011 (UTC)

Резюмируя. Показанные примеры демонстрируют избирательность цитирования и некорректность ссылочного материала. Видимо надо пройти всю статью и проверить корректность остальных ссылок и цитат. До гарантированной проверки статья не соответствует статусу. Divot 11:39, 3 февраля 2011 (UTC)

P.S. С точки зрения математика глава "Адекватность аналитической теории движения" представляет бессмысленные наукообразные построения

• "Общая теория движения с переменной скоростью была разработана в конце XVII века Ньютоном и Лейбницем." - бессмысленное утверждение, нет никакой "Общей теории движения с переменной скоростью", Ньютон и Лейбниц разработали основы математического анализа
• "Первый подход, которого придерживался Лейбниц, доминировал весь XVIII век." - аналогичного подхода придерживались и позднее, например Феликс Клейн
• "Строгое обоснование этого подхода (так называемый нестандартный анализ) разработал Абрахам Робинсон в XX веке" - вообще-то Робинсон разработал на сегодня единственный непротиворечивый подход к математическому анализу, поскольку обычный подход противоречит аксиоме Архимеда.
• "Дополнительную сложность внесла в вопрос квантовая механика, показавшая, что в микромире резко повышена роль дискретности." - что-то наукообразное. Divot 12:20, 3 февраля 2011 (UTC)

Ньютон построил анализ кинематически (см., например, у Юшкевича, как он понимал функции) и применял преимущественно (хотя и не только) для небесной механики (движение Луны, планет и комет, прецессия и др.). Робинсон разработал на сегодня единственный непротиворечивый подход к математическому анализу — странное заявление, а подход Коши вы считаете противоречивым или неархимедовым? И неужели вы никогда в жизни не слышали о дискретности квантовых спектров? LGB 13:20, 3 февраля 2011 (UTC)

"подход Коши вы считаете противоречивым или неархимедовым" Ну если бы это только я считал, то можно было бы этим пренебречь. Проблема в том, что так оно и есть на самом деле. Если вы читали статью Успенского "Что такое нестандартный анализ", на которую вы в статье ссылаетесь, то знали бы об этом (см. стр. 10 и далее, где Успеннский прямо пишет о противоречивости классического анализа и называет гипердействительные числа "неархимедовыми")

"И неужели вы никогда в жизни не слышали о дискретности квантовых спектров?" Я то слышал, вот сомневаюсь что вы понимаете смысл этих слов и их применимость к Ахиллу и черепахе. Divot 13:52, 3 февраля 2011 (UTC)

Вы бы сами сначала внимательно читали цитируемые тексты, прежде чем других изобличать. На стр. 10 Успенский пишет не о противоречивости анализа, а о противоречивости понятия бесконечно малого числа, которого в классическом анализе (по Коши) нет и в помине. Извинения будут? LGB 14:01, 3 февраля 2011 (UTC)

Извиняюсь, был в данном вопросе неправ. Divot 16:43, 3 февраля 2011 (UTC)

P.S.S. "Вообще-то я даю именно прямую ссылку на оригинал: Гильберт Д., Бернайс П. Основания математики. Логические исчисления и формализация арифметики. — М.: 1979. — С. 40. Гиперссылка на warrax.net там действительно не слишком нужна, так что я её убрал, чтобы не возникало лишних вопросов.". не возникало вопросов говорите? Проверим. См. книгу Гильберта и Бернайса на стр. 40-41. Да, там говорится "Однако это рассуждение абсолютно не затрагивает один существенно парадоксальный момент...". Однако в следующем абзаце авторы пишут:

В действительности существует, конечно, гораздо боле радикальное решение парадокса. Ведь на самом деле мы вовсе не обязаны считать что математическое пространственно-временное представление о движении является физически осмысленным.... Если мы встанем на такую точку зрения, то парадокс исчезнет.

Короче говоря, книгу Гильберта, как и Куранта, вы не читали и ссылались на нее через статью Аникова, иначе не приводили бы фрагмент полуграмотного российского философа, игнорируя тот факт что Гильберт считает парадокс решенным. Номинации статьи категорическое нет, таким методом статьи писать нельзя. Divot 13:13, 3 февраля 2011 (UTC)

Я прекращаю дискуссию с вами, так как перестал понимать вашу логику. Вы приводите цитату, подтверждающую мою точку зрения (то есть что чисто математическое решение парадоксов невозможно), и при этом заявляете, что Гильберт считал парадокс решённым! LGB 13:20, 3 февраля 2011 (UTC)

А это как вам будет угодно, коллега. Гильберт не подтверждает "вашу" точку зрения, он говорит что это решение, его можно критиковать, но есть гораздо более радикальное решение. И вот это второе решение Гильберта вы даже не приводите в статье. Из чего я делаю вывод что самого Гильберта вы не читали, а цитировали из статьи Аникова. Я свои претензии к статье высказал, с моей точки зрения вы не ответили ни на одну из них. Divot 13:27, 3 февраля 2011 (UTC)

Ну и по корректности ссылок и сносок. Секция "Современная трактовка":

• Бурбаки. "Вопрос о бесконечной делимости пространства (бесспорно, поставленный еще ранними пифагорейцами) привёл, как известно, к значительным затруднениям в философии: от Элеатов до Больцано и Кантора математики и философы не в силах были разрешить парадокса — как конечная величина может состоять из бесконечного числа точек, не имеющих размера.". Это не современная трактовка вопроса, а утверждение, что до Кантора этот парадокс был неразрешен, но со времен Кантора мир ушел вперед на 150 лет. Кроме того, здесь дана оцифрованная копия работы Бурбаки. Прошу привести оттуда процитированный фрагмент, а если там его нет то предоставить скан страницы работы Бурбаки, потому как Гугль бук тоже не находит такого фрагмента (см. тут).

• Проверил мою ссылку, текст процитирован точно. Готов выслать вам книгу в оцифрованном виде (4 Мб). LGB 17:29, 3 февраля 2011 (UTC)

• Шлите на wikidivot (на) gmail.com. Divot 17:42, 3 февраля 2011 (UTC)

• Выслал. LGB 17:49, 3 февраля 2011 (UTC)

• «Морис Клайн в своих комментариях по поводу апорий Зенона пишет: „Важно отчётливо сознавать, что природа и математическое описание природы — не одно и то же, причём различие обусловлено не только тем, что математика представляет собой идеализацию… Природа, возможно, отличается несравненно большей сложностью, или структура её не обладает особой правильностью“» — книга Клайна передо мной. В главе «Авторитет природы» Клайн довольно долго рассуждает о взаимосвязи природы и математической идеализацией. (страниц 15). Там есть абзац с примером парадокса Зенона. В следующем абзаце Клайн пишет: "Одно из физических решений, причем наиболее очевидное, этого парадокса состоит в том, что бегун преодолевает всю дистанцию за конечное число шагов...". В следующем абзаце он пишет "Важно отчётливо сознавать, что природа и математическое описание природы — не одно и то же…" Ниоткуда не следует что этот третий абзац - комментарий по поводу апорий Зенона, наоборот, это мысль относится ко всей главе. К парадоксу Зенона относится только второй абзац "Одно из физических решений ...". Так что и тут мы имеем совершенно некорректное цитирование. Divot 15:30, 3 февраля 2011 (UTC)

• Опять невнимательное и ангажированное чтение. Приводя «наиболее очевидное» решение парадоксов, Клайн тут же пишет, что такой (математический) анализ «расходится с физическим процессом» (то есть неадекватен реальному процессу), хотя результат и соответствует опыту. А следующий абзац обобщает проблему и содержит возможные пути её решения. Кроме того, слова Клайна содержат важную мысль независимо от того, к чему они относятся. LGB 17:29, 3 февраля 2011 (UTC)

• Коллега, вот этот вывод, что таким образом Клайн комментирует апории Зенона, вами сделан совершенно произвольно. Из текста вовсе не следует что все, что написано после абзаца о Зеноне относится именно к Зенону, тем более в дальнейших абзацах Клайн Зенона более не поминает. Важную мысль Клайна приводите в статье о Клайне, а не в статье о Зеноне. Ну да я всё сказал. Как мне кажется, статью надо полностью переписывать, в таком виде она кандидат на "к улучшению", а не номинацию на избранные. Divot 17:41, 3 февраля 2011 (UTC)

Сравнение цитат

Р. Курант и Г. Роббинс

В статье

Р. Курант и Г. Роббинс полагают, что для разрешения парадоксов необходимо существенно углубить наше понимание физического движения[18]. С течением времени движущееся тело последовательно проходит все точки своей траектории, однако если для любого ненулевого интервала пространства и времени нетрудно указать следующий за ним интервал, то для точки (или момента) невозможно указать следующую за ней точку, и это нарушает последовательность. «Остаётся неизбежное расхождение между интуитивной идеей и точным математическим языком, предназначенным для того, чтобы описывать её основные линии в научных, логических терминах. Парадоксы Зенона ярко обнаруживают это несоответствие.»

В оригинале

Замечания по поводу понятия предела. e-d-определение предела—результат столетних попыток и блужданий; оно кратко воплощает результат неустанных усилий поставить понятие предела на здоровую математическую основу. Важнейшие понятия анализа — производная и интеграл — могут быть определены не иначе, как с помощью перехода к пределу. Но ясное понимание и строгое определение самого понятия предела долгое время казались непреодолимо трудными. При изучении движения в частности и какого бы то ни было изменения в общем случае математики XVII и XVIII столетий принимали, как нечто достаточно наглядное и не подлежащее дальнейшему анализу, концепцию величины x, меняющейся и в своем непрерывном течении приближающейся к предельному значению x1. Они рассматривали другую величину u = f(x), зависящую от времени или от какой-нибудь другой зависящей от времени величины. Оставалось все же проблемой: какой точный математический смысл следует приписывать представлению о том, что f(x) «стремится» или «приближается» к определенному значению a, когда x движется к x1?

Однако еще со времен Зенона и его парадоксов все попытки дать точную математическую формулировку интуитивному физическому или метафизическому понятию непрерывного движения были безуспешными. Нет затруднений в продвижении шаг за шагом по дискретной последовательности значений a1, a2, a3, . . . Но когда приходится иметь дело с непрерывной переменной x, пробегающей целый интервал значений на числовой оси, то описание того, как x «приближается» к заданному значению x1, затруднено тем, что принимаемые значения из интервала не могут быть указаны последовательно в порядке их возрастания. В самом деле, точки прямой представляют везде плотное множество, и не существует точки, «следующей» за данной. Остается неизбежное расхождение между интуитивной идеей и точным математическим языком, предназначенным для того, чтобы описывать ее основные линии в научных, логических терминах. Парадоксы Зенона ярко обнаруживают это несоответствие.

Существенным достижением Коши является то, что он ясно осознал, что, поскольку дело касается математических понятий, всякая ссылка на интуитивное представление о непрерывном движении должна быть отброшена. Как случается нередко, подлинный научный прогресс был осуществлен тогда, когда последовал отказ от попыток прибегать к метафизическим объяснениям и было принято решение вести рассуждение, оставаясь на почве строго математических понятий, соответствующих «наблюдаемым фактам» в физике. Если мы проанализируем логически, что надлежит понимать под «непрерывным приближением» и какие существуют способы для того, чтобы в каждом отдельном случае проверить, имеет ли место таковое, то мы вынуждены будем принять именно то самое определение, которое дано Коши, и никакое иное. Это определение—статическое; оно не опирается на интуитивную идею движения. Более того, только такое статическое определение позволяет подвергнуть точному математическому анализу само непрерывное движение и разрешает парадоксы Зенона, по крайней мере в той их части, которая относится к математике.

Как видим, Р. Курант и Г. Роббинс говорят "Парадоксы Зенона ярко обнаруживают это несоответствие" о времени до корректной математической теории пределов, а вовсе не так как заявлено в статье. Divot 17:58, 3 февраля 2011 (UTC)

Если этой обширной цитатой вы хотели показать, что Курант и Роббинс считали парадоксы Зенона решёнными, то я повторно напоминаю их же слова в конце оборванного вами абзаца:

Только такое статическое определение позволяет подвергнуть точному математическому анализу само непрерывное движение и разрешает парадоксы Зенона, по крайней мере в той их части, которая относится к математике [выделено мной — LGB].

Вот эту существенную оговорку вы никак не хотите признать. Математическая теория движения непротиворечива — кто спорит? Весь вопрос в том, насколько она адекватна реальности. LGB 18:24, 3 февраля 2011 (UTC)

Во-первых там нет существенной оговорки, "по крайней мере в той их части, которая относится к математике" не означает "только в математике". Во-вторых, у вас в статье и этого мнения не было, вы реплику Куранта о представлениях до Коши пытались подать как современный взгляд на проблему, и продолжаете упорствовать. Добавил весь абзац чтобы можно было проследить за вашими манипуляциями с цитатами. Divot 18:35, 3 февраля 2011 (UTC)

Д. Гильберт и П. Бернайс

В статье

Д. Гильберт и П. Бернайс в монографии «Основания математики» (1934) замечают по поводу апории «Ахиллес и черепаха»[17]:

Обычно этот парадокс пытаются обойти рассуждением о том, что сумма бесконечного числа этих временных интервалов всё-таки сходится и, таким образом, даёт конечный промежуток времени. Однако это рассуждение абсолютно не затрагивает один существенно парадоксальный момент, а именно парадокс, заключающийся в том, что некая бесконечная последовательность следующих друг за другом событий, последовательность, завершаемость которой мы не можем себе даже представить (не только физически, но хотя бы в принципе), на самом деле всё-таки должна завершиться.

В оригинале

Типичным примером, иллюстрирующим эту мысль, является бесконечность, лежащая в основе известного парадокса Зенона. Предположим, что мы проходим некоторый отрезок за конечный промежуток времени. В этом процессе содержится бесконечно много протекающих друг за другом его частей: сначала мы проходим первую половину отрезка, затем - следующую четверть, следующую восьмую часть и т. д. Если нам придется иметь дело с каким-нибудь настоящим движением, то все эти частичные акты окажутся реальными процессами, которые будут протекать друг после друга.

Обычно этот парадокс пытаются обойти рассуждением о том, что сумма бесконечного числа этих временных интервалов все-таки сходится и таким образом дает конечный промежуток времени. Однако это рассуждение абсолютно не затрагивает один существенно парадоксальный момент, а именно парадокс, заключающийся и том. что некая бесконечная последовательность следующих друг за другом событий, последовательность, завершаемость которой мы не можем себе даже представить (не только фактически, но хотя бы в принципе), на самом деле все-таки должна завершиться.

В действительности, конечно, существует гораздо более радикальное решение этого парадокса. Ведь на самом деле мы вовсе не обязаны считать, что математическое пространственно-временное представление о движении является физически осмысленным также и в случае произвольно малых пространственных и временных интервалов. Более того, у нас имеются все основания предполагать, что, стремясь иметь дело с достаточно простыми понятиями, эта математическая модель экстраполирует факты, взятые из определенной области опыта, а именно из области движений в пределах того порядка величин, который еще доступен нашему наблюдению, подобно тому, как свершает определенную экстраполяцию механика сплошной среды, которая кладет в основу своих рассмотрений представление о непрерывном заполнении пространства материей. Подобно тому, как при неограниченном пространственном дроблении вода перестает быть водой, при неограниченном дроблении движения также возникает нечто такое, что едва ли может быть охарактеризовано как движение. Если мы встанем на такую точку зрения, то этот парадокс исчезнет

Целиком мысль Гильберта и Бернайс выглядит так: есть математическое решение парадокса, однако прямая экстраполяция математики на физический мир (бесконечная последовательность следующих друг за другом событий) создает существенно парадоксальный момент. После чего Гильберт и Бернайс говорят что подобную экстраполяцию проводить некорректно, и как только мы это поймем то сразу парадокс решается. Из текста статьи в Википедии вообще непонятно что имеют в виду авторы и получается что они считают парадокс нерешенным. Divot 18:35, 3 февраля 2011 (UTC)

В статье прямым текстом говорится (в соответствии с мнением Гильберта), что существующая математическая модель неадекватна реальности. Экстраполяцию проводить некорректно, и как только мы это поймем то сразу парадокс решается — не надо произвольных толкований. В тексте достаточно ясно сказано: парадокс исчезнет при условии, что мы поймём, как устроена адекватная модель, Которой пока нет. LGB 18:47, 3 февраля 2011 (UTC)

Ну да, ну да.. Гильберт говорит "В действительности, конечно, существует гораздо более радикальное решение этого парадокса. Ведь на самом деле...", а вы резюмируете его как "адекватная модель, Которой пока нет.". Ну да всем всё, полагаю, уже понятно. Divot 18:50, 3 февраля 2011 (UTC)

Николя Бурбаки

В статье

Близкую точку зрения можно найти у Николя Бурбаки[20]:

Вопрос о бесконечной делимости пространства (бесспорно, поставленный еще ранними пифагорейцами) привёл, как известно, к значительным затруднениям в философии: от Элеатов до Больцано и Кантора математики и философы не в силах были разрешить парадокса — как конечная величина может состоять из бесконечного числа точек, не имеющих размера.

В оригинале (любезно послан мне автором статьи)

общее объектов, хорошо различаемых нашей интуицией или нашей мыслью» ([35], стр. 282) после его опубликования не вызвало почти никаких возражений1). Но как только к понятию множества присоединяются понятия числа и величины, положение в корне меняется. Вопрос о бесконечной делимости пространства (бесспорно, поставленный еще ранними пифагорейцами) привел, как известно, к значительным затруднениям в философии: от Элеатов до Больцано и Кантора математики и философы не в силах были разрешить парадокса о конечной величине, состоящей из бесконечного числа точек, не имеющих величины. Было бы неинтересно излагать, хотя бы и в самом сжатом виде, ту нескончаемую и страстную полемику, поднявшуюся вокруг этого вопроса, создавшего особенно благоприятные условия для мета-физических и теологических разглагольствований. Остановимся лишь на точке зрения, разделяемой, начиная с античности, большинством математиков, которая в основном сводится к тому, чтобы вообще отказаться от споров ввиду невозможности разрешить их неопровержимым способом — на этой позиции стоят и современные формалисты. Подобно тому как эти последние стараются исключить всякое вмешательство «парадоксальных» множеств (см. ниже, стр. 44—49), классические математики тщательно избегают вводить в свои рассуждения «актуальную бесконечность» (т. е. множества, содержащие бесконечное число объектов, которые предполагаются одновременно существующими, по крайней мере в мысли) и довольствуются «потенциальной бесконечностью», т. е. возможностью увеличивать каждую данную величину (или уменьшать ее, если речь идет о «непрерывной» величине)2). Если такая точка зрения и включала некоторую долю лицемерия3), она во всяком случае способствовала развитию большей части разделов классической математики (включая теорию отношений, а позднее исчисление бесконечно малых) !). Она казалась превосходной оградой, особенно после споров, порожденных теорией бесконечно малых, и, наконец, в течение XIX в. превратилась в некую почти универсально принимаемую догму. Общее понятие равномощности в зародышевой форме появляется впервые в одном замечании Галилея ([93Ь], т. VIII, стр. 78—80). Он находит, что отображение п-^п2 устанавливает взаимно однозначное соответствие между натуральными числами и их квадратами, откуда следует, что аксиома «целое больше части» не может быть применена к бесконечным множествам. Но вместо того, чтобы дать толчок к рациональному изучению бесконечных множеств, это замечание, по-видимому, только усиливает недоверие к актуальной бесконечности. К этому заключению и приходит сам Галилей, а Коши в 1833 г. цитирует его только для подтверждения этой же точки зрения.

Потребности анализа, и в частности углубленное изучение функций действительной переменной, которое проводится в течение всего XIX в., положили начало тому, что впоследствии сформировалось в современную теорию множеств. Когда в 1817 г. Больцано доказывает существование нижней грани множества, ограниченного снизу в К [22с], он еще рассуждает «по содержанию», как и большинство его современников, говоря не о произвольном множестве действительных чисел, но о произвольном свойстве этих последних. Но когда через тридцать лет он пишет свои «Рага(1ох1еп скз ипепсШсЬеп» [22Ь] (вышедшие в 1851 г., через три года после его смерти), он, не колеблясь, отстаивает право на существование «актуальной бесконечности» и право говорить о произвольных множествах. В этой работе он определяет общее понятие равномощности двух множеств и доказывает, что два любых компактных интервала в R равномощны; он также замечает, что характерное различие между конечным и бесконечным множествами состоит в том, что бесконечное множество Е равномощно подмножеству, отличному от Е, но не дает никакого убедительного доказательства своему утверждению. К тому же общий тон этой работы скорее философский, чем математический, и при отсутствии достаточно четкого различия между понятием мощности множества и понятием величины или порядка бесконечности попытки Больцано образовать бесконечные множества все более и более высоких мощностей терпят поражение, и он прибегает к тому, что вводит в свои рассуждения соображения о расходящихся рядах, которые абсолютно лишены какого-либо смысла.

Теория множеств, как ее понимают в наши дни, создана гением Г. Кантора. Кантор также отправляется от анализа, и его работы о тригонометрических рядах, написанные под влиянием аналогичных работ Римана, естественным образом приводят его в 1872 г. к первой попытке классифицировать возникающие в этой теории «исключительные» множества !) посредством понятия последовательных «производных множеств», которые он вводит по этому поводу. Эти исследования Кантора и его способ определения действительных чисел, несомненно, привели к тому, что он заинтересовался вопросами равномощности, так как в 1873 г. он замечает, что множество рациональных чисел (или множество алгебраических чисел) является счетным; а в своей переписке с Дедекиндом, впервые выступившим в это же время [36], он ставит вопрос о равномощности множеств целых и действительных чисел и несколькими неделями позднее сам разрешает его отрицательно. Начиная с 1874 г. он сосредоточивает свое внимание на проблеме размерности и в течение трех лет тщетно старается показать невозможность взаимно однозначного соответствия между К и К" (п> 1), пока, к своему изумлению2), ему не удается определить это соответствие. Получив результаты, столь же новые, как и поразительные, он всецело посвящает себя теории множеств. В шести научных мемуарах, опубликованных между 1878 и 1884 гг. в МаНгетаНзске Аппа1епу он одновременно затрагивает проблемы равномощности, теорию совершенно упорядоченных множеств, топологические свойства К и К" и проблему меры; просто поразительно, какую четкость постепенно приобретают у него понятия, которые, казалось, были

Понимаем, да, о чем пишут Бурбаки? Проблемы были до того как Кантор создал теорию множеств, в которую ввел актуальную бесконечность. В статье же это преподносится как проблема "как конечная величина может состоять из бесконечного числа точек, не имеющих размера". Да, в рамках потенциально бесконечных множеств это невозможно, но проблема уже лет 150 как решена Кантором. Divot 19:04, 3 февраля 2011 (UTC)

Мориц Клайн

Мориц Клайн об апориях Зенона. В статье

Морис Клайн в своих комментариях по поводу апорий Зенона пишет: «Важно отчётливо сознавать, что природа и математическое описание природы — не одно и то же, причём различие обусловлено не только тем, что математика представляет собой идеализацию… Природа, возможно, отличается несравненно большей сложностью, или структура её не обладает особой правильностью»[23].

В оригинале

....

Лауреат Нобелевской премии по физике Юджин Пол Вигнер, обсуждая в 1960 г. непостижимую эффективность математики в естественных науках в статье под тем же названием, не дал никакого объяснения и ограничился лишь констатацией спорного вопроса:

Математический язык удивительно хорошо приспособлен для формулировки физических законов. Это чудесный дар, который мы не понимаем и которого не заслуживаем. Нам остается лишь благодарить за него судьбу и надеяться, что и в будущих своих исследованиях мы сможем по-прежнему пользоваться им. Мы думаем, что сфера его применимости (хорошо это или плохо) будет непрерывно возрастать, принося нам не только радость, но и новые головоломные проблемы. ([96]*; см. [133], с. 197.)

Последние из приведенных здесь <объяснений> носят скорее характер апологий. Они мало что говорят по существу, но их выразительный язык наводит на мысль, что авторы <объяснений> пребывают в неведении относительно причин непостижимой эффективности математики.

Сколь бы удовлетворительным или неудовлетворительным ни было любое объяснение эффективности математики, важно отчетливо сознавать, что природа и математическое описание природы не одно и то же, причем различие обусловлено не только тем, что математика представляет собой идеализацию (ср. [4] или [134]). Математический треугольник, несомненно, отличается от физического треугольника. Но математика отходит от природы еще дальше. В V в. до н. э. Зенон Элейский сформулировал несколько апорий, или парадоксов. Каковы бы ни были его мотивы, первая же из апорий Зенона великолепно иллюстрирует различие между математической концептуализацией и опытом. Первая апория Зенона утверждает, что бегун никогда не сможет добежать до конца дистанции, так как для этого ему необходимо сначала преодолеть 1/2 дистанции, затем 1/2 оставшейся половины, затем 1/2 половины оставшейся половины"и т. д. Следовательно, всего бегуну необходимо преодолеть

1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ...

дистанции. Но чтобы преодолеть бесконечно большое число отрезков, бегуну, по мнению Зенона, необходимо затратить бесконечно большое время.

Одно из физических решений, причем наиболее очевидное, этого парадокса состоит в том, что бегун преодолеет всю дистанцию за конечное число шагов. Но если принять математический анализ апории, проделанный Зеноном, то окажется, что на преодоление дистанции бегун должен затратить 1/2 мин плюс 1/4 мин плюс 1/8 мин и т. д., а сумма всех этих промежутков времени в точности равна одной минуте. Такой анализ расходится с физическим процессом, но тем не менее приводит к тому же результату.

Возможно, человек ввел ограниченные и даже искусственные понятия и только таким способом сумел навести порядок в природе. Созданная человеком математика не более чем рабочая схема. Сама природа, возможно, отличается несравненно большей сложностью, или структура ее не обладает особой правильностью 10. Тем не менее математика остается непревзойденным методом исследования и описания природы, позволяющим овладеть ею. В тех областях, где математика эффективна, она представляет собой все, чем мы владеем; если это и не сама реальность, то самое лучшее приближение к ней, какое только доступно для нас.
Хотя математика - творение чисто человеческое, тот путь, который она открывает нам к различным явлениям природы, приводит к результатам, превосходящим самые смелые ожидания. Как ни парадоксально, но именно абстракции, столь далекие от реальности, позволяют достичь столь многого. Возможно, что искусственное математическое описание не более чем сказка для взрослых, но сказка с моралью: человеческий разум обладает огромной силой, даже если эту силу не так-то легко объяснить.

За успехи математики заплачено определенной ценой, и эта цена - количественный подход к миру: мы рассматриваем его с точки зрения меры, веса, продолжительности и тому подобных понятий. Такое описание может давать о богатом и разнообразном опыте не более полное представление, чем рост человека о человеке. В лучшем случае математика описывает некоторые явления природы, но математические символы передают далеко не все.

Предлагаю подводящему итог оценить, можно ли абзац "Возможно, человек ввел ограниченные и даже искусственные понятия..." трактовать как "Морис Клайн в своих комментариях по поводу апорий Зенона пишет...". С моей точки зрения никак, он относится ко всей главе. Divot 14:43, 4 февраля 2011 (UTC)

P.S. Не вижу смысла дальнейшего обсуждения, у номинатора отсутствует как понимание предмета статьи, так и конструктивный подход к претензиям, посему удаляюсь. Если у подводящего итоги останутся вопросы к моим возражениям, прошу писать на ЛС. Divot 19:10, 3 февраля 2011 (UTC)

Краткое резюме

Участник:Divot в данном разделе подверг статью критике по следующим мотивировкам.

• В статье не описано математическое решение парадоксов, связанное с (неизвестными Зенону) бесконечными рядами. По мнению Divot, это реальное решение парадоксов.
• Статья ссылается на неавторитетные источники: Маковельский, Папа-Гримальди и др.; это возражение позже было снято, во всяком случае, после моих разъяснений Divot его более не упоминал.
• Цитаты из источников в статье неверно истолкованы, хотя их можно истолковать в том смысле, что математическое решение парадоксов существует.

Личные выпады я оставлю в стороне, а попытка осудить «бессмысленные наукообразные построения» была свёрнута после того, как Divot сам допустил невежественный ляп, за который вынужден был извиниться.

Я должен решительно заявить, что математического решения парадоксов в настоящий день не существует, и лучшее доказательство тому — тот факт, что парадоксы продолжают обсуждаться. Контраргументы Divot:

• Сегодня существует на математика, а много разных математик (лигицизм, интуиционистская математика и прочая) которые спорят даже между собой до хрипоты. В рамках этих математик разные парадоксы получают разные решения, или вообще не получают таковых.
• Математика это один из методов описания действительности, а не "последний аргумент" чтобы после него прекращались споры.

Первый аргумент просто не имеет смысла. Общепринятое математическое решение парадоксов через бесконечную геометрическую прогрессию признаётся всеми школами (кроме, возможно, давно забытых конструктивистов). Спор идёт только о том, можно ли считать эту модель адекватной реальному движению. Второй аргумент содержит логическую ошибку: если математическое решение парадоксов содержит «описание действительности», то как можно его не признать? А если не содержит, то кому нужно это решение?

Наконец, о толковании приведенных цитат. Благодаря тому, что Divot выложил все обширные контексты цитируемых мнений, я просто оставляю читателю возможность самому проверить, о чём там идёт речь. Все мнения, выражающие сомнение в существовании математического решения парадоксов или в его соответствии действительности, перетолковываются Divot в противоположном смысле. Это печальное следствие изначально ангажированного подхода, при котором наука превращается в теологию. Я мог бы привести намного больше АИ в пользу своего тезиса: например, в Истории математики Юшкевича (том I, стр. 89) говорится: «каждая эпоха предлагала своё решение этих парадоксов, интерес к ним не ослабел и в наши дни». То же пишет БСЭ: «Ни один из предлагаемых в настоящее время путей разрешения возникающих в Апориях противоречий не может считаться общепринятым». См. также Яновская, Силагадзе и многие другие. Надо полагать, все они ошибаются, и один только Divot, как одинокий паладин, последним защищает Истину. Я всегда уважаю чужое мнение, но претензия на монопольное владение истиной делает бессмысленным любой спор. Dixi. LGB 17:56, 4 февраля 2011 (UTC)

1. "По мнению Divot, это реальное решение парадоксов." - не соответствует действительности (см. реплику "если кто-то считает что математическим методом эту проблему решить можно, а ниже приведены Курант с Робинсоном (уверяю вас, авторитет Куранта с авторитетом Гайденко и Маковельским просто несопоставим, дистанция огромного размера), то это необходимо отразить в статье.")
2. "это возражение позже было снято, во всяком случае, после моих разъяснений Divot его более не упоминал." - не соответствует действительности (см. реплики "В третьих, если кто-то считает что математическим методом эту проблему решить можно... ", "Учитывая что о парадоксах Зенона писали такие выдающиеся математики как Курант и Рассел")
3. "Цитаты из источников в статье неверно истолкованы, хотя их можно истолковать в том смысле, что математическое решение парадоксов существует." - не соответствует действительности. См. п.1 и мои комментарии, что цитаты истолкованы некорректно
4. "попытка осудить «бессмысленные наукообразные построения» была свёрнута после того, как Divot сам допустил невежественный ляп, за который вынужден был извиниться." - не соответствует действительности. Я извинился только за одну реплику, все остальные претензии к бессмысленным утверждениям в главе остались.

Резюмируя: все приписываемые мне мотивы и аргументы на самом деле являются только тем, что коллега LGB хотел бы видеть, чтобы ничего не менять в крайне плохо написанной статье. Остался при своем мнении - статья кандидат на "к улучшению", а не на статус. Divot 18:46, 4 февраля 2011 (UTC)

Мнение Артёма Коржиманова

Прочитав выше дискуссию между участниками LGB и Divot хочу высказать свою точку зрения. На мой взгляд, корень их разногласий в том, что участником Divot, видимо, проблема, поднимаемая апориями, воспринимается как чисто математическая, что, конечно, неправильно. Поэтому он в своих аргументах делает упор на то, что в математике имеется аппарат, необходимый для разрешения парадокса. Однако суть апорий — физическая. Они поднимают проблему физических пространства и времени, а не их математических моделей. И участник LGB выдержал статью именно в том стиле, что апории не разрешены до сих пор из-за отсутствия твёрдых знаний о структуре пространства и времени на микромасштабах: даже нельзя твёрдо утверждать дискретны они или нет. Конечно, можно обсуждать корректность передачи мысли того или иного учёного, упоминаемого в тексте, но я категорически не согласен с тем, что «статья кандидат на „к улучшению“, а не на статус». — Артём Коржиманов 21:40, 5 февраля 2011 (UTC)

При чем тут моё мнение? Смотрим мнение Куранта: "Более того, только такое статическое определение позволяет подвергнуть точному математическому анализу само непрерывное движение и разрешает парадоксы Зенона, по крайней мере в той их части, которая относится к математике". Где в статье об этом сказано? Что, великий математик Курант менее значимая фигура чем какая-то преподаватель Папа-Гримальди, чтобы сославшись на нее сказать "Довольно часто появлялись (и продолжают появляться) попытки математически опровергнуть рассуждения Зенона и тем самым «закрыть тему»." и тем самым «закрыть тему»?

Далее. Смотрим мнение не менее великого математика Гильберта: "Подобно тому, как при неограниченном пространственном дроблении вода перестает быть водой, при неограниченном дроблении движения также возникает нечто такое, что едва ли может быть охарактеризовано как движение. Если мы встанем на такую точку зрения, то этот парадокс исчезнет". Где в статье написано что Гильберт видит решение парадокса? Или мнение советского член-корра по философии значимо, а мнение Гильберта нет?

Покажите, где в статье я предлагаю описать моё мнение?

Что касается того, что статья не к улучшению, коллега Артем, объясните мне как физик, что означает, например, приведенная в статье формулировка "Дополнительную сложность внесла в вопрос квантовая механика, показавшая, что в микромире резко повышена роль дискретности."? Divot 23:32, 5 февраля 2011 (UTC)

P.S. Утверждение "что апории не разрешены до сих пор из-за отсутствия твёрдых знаний о структуре пространства и времени на микромасштабах: даже нельзя твёрдо утверждать дискретны они или нет." хорошо бы подтвердить с опорой на физиков (речь идет не о квантуемости пространства-времени, а о связи с апориями Зенона). Однако смотрим на АИ в секции "Современная трактовка".

1. "Гегель в своей «Истории философии» подчеркнул, что Зенонова диалектика материи «не опровергнута до сегодняшнего дня» (ist bis auf heutigen Tag unwiderlegt)" - это Гегель - современная трактовка?

Преподаватель философии из Лондона Папа-Гримальди, которая на своем сайте в списке рецензий на книгу привела просто мнение какого-то другого лектора. А где же рецензии в профильных журналах?

Книга советского член-корра по философии 50-х годов

Курант, как я показал с цитатами, пишет совсем не то, что ему приписывается в статье. Гильбер, Бурбаки и Клайн аналогично. Да и это математики, а не физики. Что, никто из физиков не удосужился как-то подтвердить это важный физический тезис? В статье таких нет вообще. И что же остается от секции "Современная трактовка"? Ни-че-го.

Вы продолжаете считать что это статья на номинацию, Армем? Divot 23:44, 5 февраля 2011 (UTC)

Курант и Гильберт говорят о наличии математических моделей, в которых парадокс разрешается, однако проблема, и об этом сказано в статье, в адекватности этих моделей реальности. Поэтому я и говорю, что вы в источниках выбираете одно, считая, что наличие математического решения парадокса достаточно, а LGB подчёркивает другое (не оспаривая, конечно, наличие математического решения) — то, что подтверждает тезис о неразрешённости парадокса без адекватной реальности модели пространства-времени.

«что означает, например, приведенная в статье формулировка „Дополнительную сложность внесла в вопрос квантовая механика, показавшая, что в микромире резко повышена роль дискретности.“» — она означает то, что означает: что мир не непрерывен, в нём заложена дискретность, вопрос только в том, дискретны ли пространство и время. До квантовой механики, в Ньютоновской механике все процессы считались непрерывными, на этом и основывалась математическая модель Ньютона с его бесконечно малыми.

«Утверждение … хорошо бы подтвердить с опорой на физиков» — хорошо бы, но у меня есть сомнения, что физики занимались этой проблемой, проблема ведь больше философская, в любом случае у меня нет идей, кто из физиков мог бы об этом писать.

По поводу сравнения Папа-Гримальди и Маковельского с Курантом и Гильбертом, я лишь отмечу, что проблема философская, а потому мнение математиков в ней авторитетно только в той части, которая касается математики. Основная проблема, поднимаемая апориями — проблема адекватности математического описания реальному миру — является больше философской и отчасти физической, но никак не математической. — Артём Коржиманов 12:29, 6 февраля 2011 (UTC)

Слушайте, но мы же взрослые люди, с университетским образованием. Неужели правило ВП:НТЗ так сложно? Если Курант и Гильберт считают возможным какое-то решение парадокса, мы обязаны отразить его в статье? Да или нет?

Поясните, пожалуйста, во фразе „Дополнительную сложность внесла в вопрос квантовая механика, показавшая, что в микромире резко повышена роль дискретности.“ насколько резко подразумевается повышение роли дискретности?

"у меня нет идей, кто из физиков мог бы об этом писать" - значит исходный тезис "что апории не разрешены до сих пор из-за отсутствия твёрдых знаний о структуре пространства и времени на микромасштабах" и все следствия из него должны быть удалены из статьи аки ОРИСС, например вся глава "Адекватность аналитической теории движения".

И еще раз, пройдите по приведенным мной цитатам, проверьте адекватность передачи материала, в конце концов. Divot 12:52, 6 февраля 2011 (UTC)

Точка зрения Куранта и Гильберта в части наличия математических моделей, позволяющих решить парадокс, в статье представлена предложением «построив ряд из уменьшающихся интервалов для апории „Ахиллес и черепаха“, можно легко доказать, что он сходится, так что Ахиллес обгонит черепаху.». Можно обсуждать, не мало ли этого, однако сам факт наличия такой точки зрения в статье неоспорим.

«насколько резко подразумевается повышение роли дискретности?» — возможно, фраза несколько расплывчата по своей формулировке, это можно обсуждать, но спорить с тем, что в квантовой механике дискретность — центральный момент всей теории (отсюда и «кванты»), так же, как и с тем, что Ньютон строил модель непрерывного мира, не имеет смысла в силу очевидности.

По поводу главы «Адекватность аналитической теории движения» у меня возникает ощущение, что вы недостаточно внимательно читаете мои реплики, или же я недостаточно правильно расставляю в них акценты. Потворюсь. Эта проблема не физическая, а философская. Физику не нужно вспоминать про какие-то там апории, когда он строит модель нашего мира, этим занимаются философы, и ссылки на философов в этом разделе имеются. — Артём Коржиманов 13:20, 6 февраля 2011 (UTC)

"Точка зрения Куранта и Гильберта в части наличия математических моделей, позволяющих решить парадокс, в статье представлена предложением " - несомненно нет. Это представлено как анонимная точка зрения, которая опровергается Маковельским и Папа-Гримальди (как видно из полной цитаты Маковельского первое вообще говоря не верно, он говорит о критике этого утверждения с стороны Брошара). В то время как Гильбер и Курант цитируется совершенно в другом месте, причем Курант цитируется в принципе некорректно. Есть, знаете ли, разница между "Гильберт считает проблему решенной, Папа-Гримальди протестует" (Кардинал и галантерейщик, это сила!) и тем что сейчас в статье.

"и ссылки на философов в этом разделе имеются." - ну да, полтора советских философа. Хороший актив для рассуждений об "Адекватности аналитической теории движения". Ну не было в мире крупнейших философов, а вообще говоря и физиков и математиков, которые тоже занимались философскими обоснованиями этих проблем, есть полтора советских философы, Яновская и Гайденко, видимо просто нагугленные в инете. Я понимаю, так проще писать избранные статьи.

"дискретность — центральный момент всей теории (отсюда и «кванты»)" спасибо за ликбез, но я немного о другом говорил, о неэнциклопедичности формулировок главы. Divot 13:41, 6 февраля 2011 (UTC)

Папа-Гримальди и Маковельский

Кстати, что это за Папа-Гримальди и Маковельский, на которых ссылаются в тезисе "В апориях Зенона речь идёт не о математической модели, а о реальном движении, и поэтому бессмысленно ограничить анализ парадокса внутриматематическими рассуждениями — ведь Зенон как раз и ставит под сомнение применимость к реальному движению идеализированных математических понятий". Это должно быть что-то весьма авторитетное, чтобы сделать такое обобщающее заявление. Смотрим страницу этой Гримальди и проверяем по гугл-сколар кто ссылается на этого исследователя:

• "Time and Reality" - основная книга автора. Ссылки на работы самой Папа-Гримальди, работа просто упоминается в статье в "The Journal of Speculative Philosophy" и еще раз упоминается в неопубликованной работе. Короче говоря, главная работа Папа-Гримальди прошла мимо академического сообщества. По остальным можно было бы уже не смотреть, но уж больно показательно
• "The presumption of movement" - исключая работы о Миссури и балете, цитируется только самой Папа-Гримальди
• "The Paradox of Phenomenal Observation" - цитируется только самой Папа-Гримальди
• "Why Mathematical Solutions Of Zeno's Paradoxes" - две ссылки в работах посвященных Зенону, вполне может оказаться просто из библиографии по теме

Согласно ВП:АИ источник для подобных обобщений явно неавторитетный, да и вообще непонятно для чего авторитетный. Академический мир не знает такого исследователя.

Теперь посмотрим внимательнее на Маковельского и его книгу Досократики. В 3 томах. — Минск: Харвест, 1999. Вроде как книга довольно новая, но согласно статье о самом Маковельском издана впервые в 1914-19 гг., почти 100 лет назад. Уважаемому автору и номинанту не кажется что эта книга немного устарела? Но самый анекдот не в этом. В статье со ссылкой на Маковельского утверждается что парадокс не имеет математического решения? Смотрим самого Маковельского:

Обратимся теперь к математической стороне вопросов, поднятых аргументами Зенона против движения. Б. Рессель переводит доказательства Зенона на язык арифметики. Дихотомия: нет движения так как движущийся предмет должен постоянно (бесконечное число раз) достигать половины своего пути, прежде чем достигнет конца На арифметическом языке это значит: числа от 0 до 1 предполагают числа от 0 до последние предполагают числа от 0 до и т. д. (бесконечный прогресс в понятии бесконечного целого). Решение проблемы Рессель находит в различении или двух видов бесконечного регресса, или двух видов целого, в одном из которых части одинаковой сложности с целым не имеют логического приоритета перед целым. Ахиллес: проблема, поднимаемая этим аргументом с арифметической точки зрения сводится к взаимному отношению двух бесконечных классов. Например возьмем 1+ 2х и 2 + х, и допустим, что х лежит между 0 и 1. Для каждого значения 1+ 2х есть одно и только одно значение 2 + х и vice versa. Когда х возрастет от 0 до 1, тогда оба эти значения сравняются. Однако 1 + 2х отправляется от 1 и кончается 3 между тем как 2+х начинается 2-мя и кончается 3. «Ахиллес» затрагивает и другую интересную математическую проблему, вопрос об равномошности (similarity) целого и части. Если здравый смысл (common-sence) не может допустить возможности того, чтобы целое и часть могли иметь одно и то же число терминов, то «Ахиллес» Зенона доказывает, что противоположная точка зрения также приводит к следствиям, неприемлемым для здравого смысла. Здравый смысл оказывается в весьма плачевном состоянии: ему приходится выбирать между парадоксом Зенона и парадоксом Кантора, между «Ахиллесом» и «Тристрамом Шен-ди» (Tristam Shandy)1. Трисграм Шенди потратил два года своей жизни на написание истории двух первых дней своей жизни и горевал, что при такой скорости материал будет накопляться быстрее, нежели он будет в состоянии его погашать .Таким образом, биография никогда не придет к концу. Однако, если предположим, что Тристрам Шенди будет жить вечно, что жизнь его будет столь же богата приключениями и он будет постоянно писать свою автобиографию, то ни одна часть последней не останется не написанной: в самом деле, в один год он описывает события одного дня; события n-ого дня будут написали в n-ый год; как описываемые дни, так и соответствующие им годы писания автобиографии никогда не прекращаются; следовательно, ни одна часть биографии не останется не написанной. Таким образом, «Ахиллес» полагает, что целое и часть не могут быть равномощными (similar), «Тристрам Шенди» признает целое и часть равномощными. С арифметической точки зрения «Ахиллес» должен быть отвергнут, «Тристрам Шенди» принят. Указанная равномощность (similarity) невозможна для конечного целого: чис-ла в обыденной жизни показывают невозможность однородности целого и части; однако это не доказательно для бесконечных целых. Стрела: этот аргумент с математической точки зрения выражает очень важную истину, а именно, что «всякое возможное значение переменной есть константа (постоянное)». Если х переменная величина, которая может принимать все значения от 0 до 1, то все значения, какие только она может иметь, суть определенные числа, как, например, или которые все представляют собой абсолютные константы. Стадий: этот аргумент, касающийся проблемы измерения и исходящий из представления трех сложенных из точек параллельных линий, из которых одна остается на месте, а две другие передвинулись одновременно в один неделимый момент, Рессель считает совершенно основательным с чисто арифметической точки зрения (пока не включается никакой эмпирический вопрос); но в геометрии, кинематике и динамике этот аргумент получает иную оценку.

Математики обычно опровергают Зенонову «дихотомию», доказывая, что сумма бесконечного ряда дробей не превышает конечной величины 1; «Ахиллес» же опровергается у них точным вычислением времени, когда Ахиллес нагонит черепаху1. Однако, как указал Брошар, этот способ опровержения, усвоенный математиками, начиная с Декарта, заключает в себе логическую ошибку . решается иная проблема, а не та, которая поставлена. А именно, спрашивается, каким образом бесконечный ряд достигает конечной величины, и каким образом расстояние между черепахой и Ахиллесом становится равным нулю.

Понимаем, да, о чем пишет Маковельский, ссылаясь на Бертрана Рассела? "Решение проблемы Рессель находит в различении или двух видов бесконечного регресса". То есть для Рассела такое решение существует. Смотрим дальше: "«Ахиллес» затрагивает и другую интересную математическую проблему, вопрос об равномошности (similarity) целого и части. .... Таким образом, «Ахиллес» полагает, что целое и часть не могут быть равномощными (similar), «Тристрам Шенди» признает целое и часть равномощными. С арифметической точки зрения «Ахиллес» должен быть отвергнут, «Тристрам Шенди» принят.". То есть теория множеств Кантора тоже предполагает математическое решение парадокса Зенона. Даже в том что касается суммы бесконечного ряда Маковельский, вообще говоря, приводит мнение Брошара и не делает категорических утверждений.

Вот за какой источник не возьмись, выясняется что в нем говорится прямо противоположное тому, что этому источнику приписывается в статье. Что делать будем с такими методами написания статьи, коллеги? Divot 04:24, 6 февраля 2011 (UTC)

Комментарий Sinednov

Не хотел вмешиваться в этот спор, но меня попросили высказаться как физика, так что вот вам мой субъективный комментарий.

1) Я не специалист в философии, но с априорным пренебрежением советскими философами и историками науки в корне не согласен.

2) Насколько я понимаю, обе стороны спора сходятся в том, что с математической точки зрения парадоксы Зенона разрешены. Участник Divot на этом ставит точку, тогда как LGB считает, что здесь есть еще что-то. Я склоняюсь ко второй точке зрения, ибо тогда был бы неясен сам интерес выдающихся математиков прошлого века к таким, в сущности, плёвым задачкам.

3) Теперь что касается физики. Статья создала у меня ощущение, что апории интересуют исключительно философов и математиков, причем последние всю ответственность за разрешение парадоксов спихнули на физику. Но физики, похоже, не в курсе. Во всяком случае, в статье нет никаких свидетельств (хотя бы высказываний каких-то выдающихся физиков), что апории действительно представляют сколько-нибудь актуальную физическую проблему. Из личного опыта я могу заключить, что физики в основном рассматривают эти парадоксы как исторические курьезы, то есть относятся к ним с изрядной долей иронии, как к памятнику тех времен, когда люди не владели математической техникой. Я сам во многом разделяю эту точку зрения и думаю, что апории — это проблема скорее для философии, чем для физики. Собственно, те обширные цитаты, что тут приведены, подтверждают это. Например, Гильберт предлагает некое «радикальное решение» парадокса, однако это не более чем философское рассуждение, которое ничем не доказано и, видимо, даже не может быть доказано на данный момент.

В целом статья, мне кажется, не заслуживает критики в такой агрессивной форме, какую позволяет себе Divot. Видимо, участие в многочисленных конфликтах наложило отпечаток на его манеру выражаться. Думаю, статья тянет на хорошую, но насчет избранной я не уверен.--Sinednov 08:53, 6 февраля 2011 (UTC)

Опять... Я не ставлю на этом точку, я только отмечаю, что есть АИ, которые говорят что апории решены, и приводят математические основания. Однако в статье этого нет! Нравится нам это решение, не нравится, но мы обязаны его в статье привести. Может мы самые умные, а Давиду Гильберту до нас расти и расти, он то по наивности и необразованности не понимает что апории - проблема философии. Но он АИ. И поскольку он говорит что есть некое «радикальное решение», то это надо отразить. В то время как сейчас в статье со ссылкой на Гильберта говорится бог знает что.

Проблема критики в том, что я привожу мнения АИ, не отраженные в статье, я привожу явные натяжки в толковании АИ, привожу избирательное цитирование АИ, но автор не собирается вообще ничего менять в статье. Он не согласился ни с одним примером, который я привел. Я ведь я буквально цитировал АИ, которые пропущены в статье или некорректно приведены.

Меня, честно говоря, крайне удручает уровень обсуждения хороших и избранных статей, когда вместо содержательных проверок и вычитки ссылок обсуждаются викификация, наличие шаблонов и общефилософские рассуждения. Пройдите в конце концов по приведенным мной цитатам и проверьте, корректно ли подана мысль источника.

Divot 12:12, 6 февраля 2011 (UTC)

Так вроде бы в статье отражено мнение Гильберта о «радикальном решении»: Гильберт и Бернайс высказывают мнение, что суть парадоксов состоит в неадекватности непрерывной, бесконечно делимой математической модели, с одной стороны, и физически дискретной материи, с другой[19]: «мы вовсе не обязательно должны верить в то, что математическое пространственно-временное представление движения имеет физическое значение для произвольно малых интервалов пространства и времени». Чего вам еще надо? Если не нравится формулировка, предложите другую, тогда будет о чем говорить. К тому же это решение не является математическим, как вы утверждаете. Оно именно философское (спекулятивное), а потому не дает никакого надежного ответа. Оно основано на том, что «мы вовсе не обязательно должны верить», а это звучит, согласитесь, не слишком убедительно. Гильберт, безусловно, АИ, но это не значит, что его точка зрения по этому вопросу имеет какую-то первостепенную важность.

Я понимаю ваши сетования по поводу уровня обсуждения, но даже в научных журналах рецензенты не обязаны проверять все выкладки авторов и повторять их эксперименты. Есть много энциклопедий, написанных профессионалами, а википедию пишут любители, которым есть чем поделиться с такими же как они. И эти типы энциклопедий никогда не сравняются. --Sinednov 13:10, 6 февраля 2011 (UTC)

Мне надо чтобы в статье было прямо сказано: "Гильберт видит радикальное решение парадокса в таком-то суждении". На сегодня в статье сказано "Гильбер видит неадекватность такой-то конструкции". Вам не кажется что это разные вещи?

"Гильберт, безусловно, АИ, но это не значит, что его точка зрения по этому вопросу имеет какую-то первостепенную важность" - ну так почему не приведена?

Математическое решение приводит Курант и, как я процитировал, Маковельский. Последний аж целых два: Рассела и Кантора. Однако этого в статье нет! Вместо этого со ссылкой на Куранта пишется то, что он на самом говорит о времени до того как Коши построил теорию пределов, и полностью замалчивается его резюме после того как он объясняет революцию Коши. Маковельского вообще привели в качестве отрицателя математических методов решения, хотя в статье он прямо процитировал два таких метода, и нигде их не критиковал. Ну и остальные, приведенные мной примеры.

"википедию пишут любители, которым есть чем поделиться с такими же как они." - вас же пригласили в дискуссию как профессионала. Ну так пройдитесь по приведенным мной полным цитатам АИ и скажите, корректно ли переданы они в тексте. Divot 13:26, 6 февраля 2011 (UTC)

Меня сюда позвали высказаться насчет физики, что я и сделал, в философии и математике я не АИ :) Впрочем, я прочитал цитаты. В них ведется речь о математической стороне парадоксов, так вроде бы никто не спорит, что эта часть решена. Вопрос в том, если ли здесь что-то еще. Если нет, то зачем тогда Гильберт огород городил, если до него уже всё порешал Кантор? К тому же, я считаю некорректным говорить о том, что Гильберт видел реальное решение парадокса в том-то и том-то. Нет, он просто указывал, что парадокса не будет, если мы станем на такую-то точку зрения. Это не значит, что он считал эту точку зрения правильной. Вообще, я думаю, пора прекращать дискуссию, я вашу позицию понял, вы мою, наверно, нет. Тем более за статью в полной мере я не могу отвечать, ибо не вполне в теме. --Sinednov 14:02, 6 февраля 2011 (UTC)

Предложение Артёму Коржиманову и Sinednov

Вот цитата Куранта

Однако еще со времен Зенона и его парадоксов все попытки дать точную математическую формулировку интуитивному физическому или метафизическому понятию непрерывного движения были безуспешными. Нет затруднений в продвижении шаг за шагом по дискретной последовательности значений a1, a2, a3, . . . Но когда приходится иметь дело с непрерывной переменной x, пробегающей целый интервал значений на числовой оси, то описание того, как x «приближается» к заданному значению x1, затруднено тем, что принимаемые значения из интервала не могут быть указаны последовательно в порядке их возрастания. В самом деле, точки прямой представляют везде плотное множество, и не существует точки, «следующей» за данной. Остается неизбежное расхождение между интуитивной идеей и точным математическим языком, предназначенным для того, чтобы описывать ее основные линии в научных, логических терминах. Парадоксы Зенона ярко обнаруживают это несоответствие.

Существенным достижением Коши является то, что он ясно осознал, что, поскольку дело касается математических понятий, всякая ссылка на интуитивное представление о непрерывном движении должна быть отброшена. Как случается нередко, подлинный научный прогресс был осуществлен тогда, когда последовал отказ от попыток прибегать к метафизическим объяснениям и было принято решение вести рассуждение, оставаясь на почве строго математических понятий, соответствующих «наблюдаемым фактам» в физике. Если мы проанализируем логически, что надлежит понимать под «непрерывным приближением» и какие существуют способы для того, чтобы в каждом отдельном случае проверить, имеет ли место таковое, то мы вынуждены будем принять именно то самое определение, которое дано Коши, и никакое иное. Это определение—статическое; оно не опирается на интуитивную идею движения. Более того, только такое статическое определение позволяет подвергнуть точному математическому анализу само непрерывное движение и разрешает парадоксы Зенона, по крайней мере в той их части, которая относится к математике.

Скажите, по поводу чего пишет Курант "Остается неизбежное расхождение между интуитивной идеей и точным математическим языком, предназначенным для того, чтобы описывать ее основные линии в научных, логических терминах.", к восприятию апорий Зенона до того как Коши предложил теорию пределов, или о том что и сейчас имеется такая проблема? Divot 13:52, 6 февраля 2011 (UTC)

• Видимо, к состоянию дел до Коши. Однако он подчёркивает, что Коши решил проблем в математическом смысле, но не обязательно в физическом. — Артём Коржиманов 14:07, 6 февраля 2011 (UTC)
  • Прекрасно. В статье это корректно подано (см. весь абзац с цитатой, начинающийся с "Серьёзные исследования апорий Зенона рассматривают физическую и математическую модели совместно")? Divot 14:40, 6 февраля 2011 (UTC)

    Во всяком случае, текст в статье не противоречит Куранту. О разрешимости парадокса в математике там не говорится, упор делается на необходимость совместного рассмотрения физической реальности и математической модели этой реальности. — Артём Коржиманов 16:10, 6 февраля 2011 (UTC)

    Артем, давайте по-взрослому, ок? Это кандидат в избранные статьи, а не студенческий реферат. Там приводится цитата из Кинтора, как пример современных воззрений на вопрос. Вы подтвердили что Курант говорит это о состоянии изученности вопроса до Коши. Я и спрашиваю, эта цитат корректно приведена, как пример современного воззрения на вопрос? Или обязательно нужно отметить, что после Коши эта проблема получила решение как минимум математическое (а согласно Куранту возможно и полное решение). Divot 16:15, 6 февраля 2011 (UTC)

    Во-первых, ваше «давайте по-взрослому» находится на грани нарушения ВП:ЭП, я что, по-вашему, Википедию с детским садом перепутал? Что касается существенной части вопроса, да, я согласен, что в статье можно отметить, что Курант считает, что Коши решил парадокс с математической точки зрения, однако в статье уже сказано, что парадокс разрешён математически, однако это не мнение Куранта, это общепризнанный в науке факт и потому он не требует ссылки на конкретного авторитета. — Артём Коржиманов 16:26, 6 февраля 2011 (UTC)

Артем, после вашего ответа на предыдущий вопрос я еще хочу спросить. Вот полный текст Бурбаки. Скажите, "Вопрос о бесконечной делимости пространства (бесспорно, поставленный еще ранними пифагорейцами) привёл, как известно, к значительным затруднениям в философии: от Элеатов до Больцано и Кантора математики и философы не в силах были разрешить парадокса — как конечная величина может состоять из бесконечного числа точек, не имеющих размера." Бурбаки относит к воззрениям до того как Кантор построил корректную теорию множеств, или Бурбаки говорит о сегодняшних "значительных затруднениях в философии"? Divot 15:55, 6 февраля 2011 (UTC)

• Я бы трактовал эту фразу как то, что он включает Больцано и Кантора (а следовательно, и его теорию множеств) в число тех, кто не в силе разрешить парадокс. Хотя могу и ошибаться. Более подробная цитата, приведённая вами выше, не отвечает однозначно на вопрос, считает ли Бурбаки, что Кантор решил философский вопрос. — Артём Коржиманов 16:10, 6 февраля 2011 (UTC)
  • "Кто не в силе" или "кто в силе" разрешить вопрос (у вас написано "он включает Больцано и Кантора в число тех, кто НЕ в силе разрешить парадокс")? Divot 16:15, 6 февраля 2011 (UTC)

    Не. — Артём Коржиманов 16:21, 6 февраля 2011 (UTC)

    То есть Бурбаки не пишут что теория множеств снимает проблему "парадокса о конечной величине, состоящей из бесконечного числа точек, не имеющих величины"? Divot 16:24, 6 февраля 2011 (UTC)

    В приведённой цитате, если я ничего не упустил, он лишь говорит о том, что проблема, поднятая апориями Зенона, привела к созданию теории множеств, но не утверждает, что эта теория сняла все вопросы. — Артём Коржиманов 16:28, 6 февраля 2011 (UTC)

    Вообще-то "Кантор также отправляется от анализа, и его работы о тригонометрических рядах, написанные под влиянием аналогичных работ Римана, естественным образом приводят его в 1872 г. к первой попытке классифицировать возникающие в этой теории «исключительные» множества".

    Видимо придется обращаться к помощи авторитетного математика. Divot 19:38, 6 февраля 2011 (UTC)

Структура статей

Может в правилах проработать положение о структуре подобных статей? Скажем, должна ли статья, в которой описывается некое событие, явление (в данном случае - парадокс) содержать какое-нибудь указание на его математическую модель (или её отсутствие), описание и т.п. Fractaler 10:14, 7 февраля 2011 (UTC)

• Мне это решение не кажется удачным. В конце концов это право автора - выстраивать относящийся к делу материал.--Dmartyn80 20:00, 7 февраля 2011 (UTC)
• В ВП есть как обязательное, так и рекомендательное. В тех же шаблонах не все поля обязательны. Fractaler 07:43, 8 февраля 2011 (UTC)

Итог

К статье участником Divot была предъявлена претензия в том, что в ней не уделено внимания математическим аспектам при решении парадоксов. В общем то можно долго спорить о том, насколько верен такой подход. Однако он имеет право на существование. И как минимум разобрать его в статье стоит (насколько я помню из курса математики, который у меня был в институте, в теории рядов апория о Ахиллесе и черепахе рассматривается). В ходе бурного обсуждения и автор, и участник Divot, остались каждый при своем мнении. Кроме того, высказаны претензии в том, что не был рассмотрен ряд источников, а также в не совсем корректной интерпретации источников. Честно говоря я не математик и не философ, поэтому корректного вывода о том, насколько данная претензия обоснована, я не могу. Кроме того, в обсуждении автор статьи упоминает, что «Смысл его парадоксов не в том, чтобы дать решение проблемы, а в том, чтобы поставить проблему». Но в статье об этом ни слова.

Еще один момент, который я обнаружил - статья содержит раздел «Другие апории Зенона». В нем котором содержатся апории, которые по сравнению с другими апориями освещен достаточно скудно - фактически просто перечислены. Из-за этого данный раздел выглядит незаконченным. Хотя это мое личное мнение, в обсуждении статуса он не поднимался, но на мой взгляд дополнить раздел по «другим» апориям стоит. Или, по крайней мере, обосновать, почему им уделено гораздо меньше внимания.

Одно из требований, которое предъявляется к избранным статьям - она должна быть законченной. На мой взгляд данное требование до конца не выполнено, поэтому статье пока что рановато получать статус Избранной. При этом стоит отметить, что потенциал у статьи есть. Если автор уделит больше внимания математическим аспектам, то статью можно будет номинировать вновь. Кроме того, на мой взгляд статья вполне может сейчас получить статус Хорошей, поэтому она переносится обратно в номинацию на ВП:КХС. -- Vladimir Solovjev ^обс 16:15, 2 марта 2011 (UTC)