Возведение в степень по модулю

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Возведение в степень по модулю — одна из операций над натуральными числами — возведение в степень, — выполняемая по модулю. Находит применение в информатике, особенно, в области криптографии с открытым ключом.

Возведение в степень по модулю — это вычисление остатка от деления натурального числа b (основание), возведенного в степень n (показатель степени), на натуральное число m (модуль). Обозначается:

Например, пусть нам даны b = 5, n = 3 и m = 13, тогда решение c = 8 — это остаток от деления на 13.

Если b, n и m неотрицательны и b < m, то единственное решение c существует, причем 0 ⩽ c < m.

Возведение в степень по модулю может быть выполнено и с отрицательным показателем степени n. Для этого необходимо найти число d, обратное числу b по модулю m. Это легко сделать с помощью алгоритма Евклида. Таким образом,

, где n < 0 и

Возвести в степень по модулю довольно легко, даже при больших входных значениях. А вот вычисление дискретного логарифма, то есть нахождение показателя степени n при заданных b, c и m, намного сложнее. Такое одностороннее поведение функции делает её кандидатом для использования в криптографических алгоритмах.

Простой метод[править | править код]

Самый простой способ возвести в степень по модулю — это непосредственное вычисление числа , а затем нахождение остатка от деления этого числа на m. Рассчитаем c, если b = 4, n = 13 и m = 497:

Можно использовать калькулятор для вычисления 413, получим 67,108,864. Теперь возьмем это число по модулю 497 и получим 445.

Следует заметить, что b имеет только один символ в длину, n имеет только два символа в длину, а значение bn имеет 8 символов в длину.

В криптографии b часто имеет 256 двоичных разрядов (77 десятичных цифр). Рассмотрим b = 5 × 1076 и n = 17, они оба принимают вполне реальные значения. В этом примере b 77 символов в длину, а n — 2 символа в длину, но результат возведения в степень имеет 1304 символов в длину. Такие расчеты возможны на современных компьютерах, но скорость вычисления таких чисел невелика. Значения b и n увеличивают, чтобы добиться большего уровня безопасности, из-за чего значение bn становится громоздким.

Время, необходимое для возведения в степень, зависит от операционной системы и процессора. Описанный выше способ требует O(n) умножений.

Метод, эффективно использующий память[править | править код]

Данный метод требует большего числа операций, по сравнению с предыдущим. Однако, так как памяти требуется меньше и операции занимают меньшее время, то алгоритм работает гораздо быстрее.

Данный алгоритм основывается на том факте, что для заданных a и b следующие 2 уравнения эквивалентны:

Алгоритм следующий:

  1. Пусть c = 1, n′ = 0.
  2. Увеличим n′ на 1.
  3. Установим .
  4. Если n′ < n, возвращаемся к шагу 2. В противном случае, c содержит правильный ответ .

Следует отметить, что при каждом проходе шага 3, выражение верно. После того, как шаг 3 был выполнен n раз, в c содержится искомое значение. Таким образом, алгоритм основывается на подсчитывании n′ до тех пор, пока n′ не достигнет e и умножении на b по модулю m в каждом витке цикла (чтобы гарантировать, что результат будет маленьким).

Например, b = 4, n = 13 и m = 497. Алгоритм проходит через шаг 3 тринадцать раз.

  • n′ = 1. c = (1 * 4) mod 497 = 4 mod 497 = 4.
  • n′ = 2. c = (4 * 4) mod 497 = 16 mod 497 = 16.
  • n′ = 3. c = (16 * 4) mod 497 = 64 mod 497 = 64.
  • n′ = 4. c = (64 * 4) mod 497 = 256 mod 497 = 256.
  • n′ = 5. c = (256 * 4) mod 497 = 1024 mod 497 = 30.
  • n′ = 6. c = (30 * 4) mod 497 = 120 mod 497 = 120.
  • n′ = 7. c = (120 * 4) mod 497 = 480 mod 497 = 480.
  • n′ = 8. c = (480 * 4) mod 497 = 1920 mod 497 = 429.
  • n′ = 9. c = (429 * 4) mod 497 = 1716 mod 497 = 225.
  • n′ = 10. c = (225 * 4) mod 497 = 900 mod 497 = 403.
  • n′ = 11. c = (403 * 4) mod 497 = 1612 mod 497 = 121.
  • n′ = 12. c = (121 * 4) mod 497 = 484 mod 497 = 484.
  • n′ = 13. c = (484 * 4) mod 497 = 1936 mod 497 = 445.

Конечный ответ c равняется 445, как и в первом методе.

Как и в первом методе, требуется O(n) умножений для завершения. Однако, так как числа используемые в этих расчетах намного меньше, то время выполнения данного алгоритма уменьшается.

В псевдокоде это выглядит так:

 function modular_pow(base, index_n, modulus)
    c := 1
    for index_n_prime = 1 to index_n 
        c := (c * base) mod modulus
    return c

Алгоритм быстрого возведения в степень по модулю[править | править код]

Применяя алгоритм быстрого возведения в степень для 595703 (mod 991):

Имеем n = 703 =(1010111111)2 = 20+21+22+23+24+25+ 27+29.

595703 = ((((((((5952)2*595)2)2* 595)2*595)2 * 595)2*595)2*595)2*595

= (((((((2382*595)2)2* 595)2*595)2 * 595)2*595)2*595)2*595

= ((((((2612)2* 595)2*595)2 * 595)2*595)2*595)2*595

= (((((7332* 595)2*595)2 * 595)2*595)2*595)2*595

= (((((167* 595)2*595)2 * 595)2*595)2*595)2*595

= ((((2652*595)2 * 595)2*595)2*595)2*595

= (((3422 * 595)2*595)2*595)2*595

= ((6052*595)2*595)2*595

= (7332*595)2*595

= (167*595)2*595

= 2652*595

= 342.

Схема «справа налево»[править | править код]

Другим вариантом является схема типа «справа налево». Её можно представить следующей формулой:

Пример. Посчитаем с помощью простой двоичной схемы возведения в степень типа «справа налево» значение 175235 mod 257.

Представим число 235 в двоичном виде:

23510 = 111010112.

1. d := 1 * 175 mod 257 = 175,

t := 1752 mod 257 = 42;

2. d := 175 * 42 mod 257 = 154,

t := 422 mod 257 = 222;

3. t := 2222 mod 257 = 197;

4. d := 154 * 197 mod 257 = 12,

t := 1972 mod 257 = 2;

5. t := 22 mod 257 = 4;

6. d := 12 * 4 mod 257 = 48,

t := 42 mod 257 = 16;

7. d := 48 * 16 mod 257 = 254,

t := 162 mod 257 = 256;

8. d := 254 * 256 mod 257 = 3,

9. → d = 3. Потребовалось 7 возведений в квадрат и 6 умножений.

Матрицы[править | править код]

Числа Фибоначчи по модулю n можно эффективно найти путём вычисления Am (mod n) для определенного m и определенной матрицы A. Перечисленные методы легко могут быть применены в данном алгоритме. Это обеспечивает хороший тест простоты для больших (500 бит) чисел n.

Псевдокод[править | править код]

Рекуррентный алгоритм для ModExp(A, b, c) = Ab (mod c), где A является квадратной матрицей.

matrix ModExp(matrix A, int b, int c) {
   if (b == 0) return I; // Единичная матрица
   if (b % 2 == 1) return (A * ModExp(A, b-1, c)) % c; 
   matrix D = ModExp(A, b/2, c);
   return (D * D) % c;
}

Конечность циклических групп[править | править код]

Обмен ключами Диффи — Хеллмана использует возведение в степень в конечных циклических группах. Приведенный выше метод возведения матрицы в степень полностью распространяется и на циклические группы. Умножение матриц по модулю C = AB (mod n) просто заменяется групповым умножением c = ab.

Реверсивное и квантовое возведение в степень по модулю[править | править код]

В квантовых вычислениях возведение в степень по модулю является частью алгоритма Шора. Также, в данном алгоритме можно узнать основание и показатель степени при каждом вызове, которые позволяют различные модификации схемы[3].

В языках программирования[править | править код]

Возведение в степень по модулю является важной операцией в информатике и есть эффективные алгоритмы (см. выше), которые гораздо быстрее, чем простое возведение в степень и последующее взятие остатка. В языках программирования существуют библиотеки, содержащие специальную функцию для возведения в степень по модулю:

  • Python содержит встроенную функцию pow()[4]
  • .NET Framework содержит BigInteger class, включающий в себя ModPow()[5]
  • Java содержит java.math.BigInteger class, включающий в себя modPow()[6]
  • Perl содержит Math::BigInt модуль, включающий в себя метод bmodpow()[7]
  • Go содержит big.Int тип, включающий в себя метод Exp()[8]
  • PHP содержит BC Math библиотеку, включающую в себя функцию bcpowmod()[9]
  • GNU Multi-Precision Library (GMP) библиотека содержит функцию mpz_powm()[10]

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

  1. Теоретический минимум и алгоритмы цифровой подписи, 2010, с. 56-57.
  2. Schneier 1996, p. 244.
  3. Igor L. Markov, Mehdi Saeedi, «Constant-Optimized Quantum Circuits for Modular Multiplication and Exponentiation», Quantum Information and Computation, Vol. 12, No. 5&6, pp. 0361-0394, 2012.http://arxiv.org/abs/1202.6614
  4. Built-in Functions: official site (англ.).
  5. BigInteger.ModPow Method: official site (англ.).
  6. Class BigInteger: official site (англ.).
  7. Math::BigInt: official site (англ.).
  8. Package big: official site (англ.).
  9. bcpowmod: official site (англ.).
  10. Exponentiation Functions: official site (англ.).

Литература[править | править код]

  • Молдовян Н. А. Теоретический минимум и алгоритмы цифровой подписи. — СПб.: БВХ-Петербург: Книжный Дом «ЛИБРОКОМ», 2010. — 304 с. — ISBN 978-5-9775-0585-7.
  • Schneier, Bruce. Applied Cryptography: Protocols, Algorithms, and Source Code in C, Second Edition. — 2nd. — Wiley, 1996. — ISBN 978-0-471-11709-4.
  • Валицкас А. И. Конспект лекций по дисциплине: Элементы абстрактной и компьютерной алгебры. // Тобольск, ТГПИ им. Д. И. Менделеева, 2004.
  • Габидулин Э. М, Кшевецкий А. С, Колыбельников А. И, Владимиров С. М. Защита информации (Учебное пособие): Возведение в степень по модулю (стр. 253) // МФТИ, 2014.