Возведение в степень

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Возведе́ние в сте́пень — бинарная операция, первоначально определяемая как результат многократного умножения натурального числа на себя. Степень с основанием a и показателем b обозначается как

a^b = \underbrace{a\cdot a\cdot\ldots a}_{b},

при этом b — это количество множителей (умножаемых чисел).

Возведение в степень может быть определено также для отрицательных, рациональных, вещественных и даже комплексных степеней.

Натуральная степень[править | править вики-текст]

Число c называется n-й степенью числа a, если

c =\underbrace{a \cdot a\cdot ... \cdot a }_{n}.

Свойства:

  1. \left(ab\right)^n = a^nb^n
  2. \left({a\over b}\right)^n = {{a^n}\over{b^n}}
  3. a^na^m = a^{n+m}\!
  4. \left. {a^n\over {a^m}} \right. = a^{n-m}
  5. \left(a^n\right)^m = a^{nm}
  6. запись a^{n^m} не обладает свойством ассоциативности (сочетательности), то есть в общем случае левая ассоциативность не равна правой ассоциативности (a^n)^m \ne a^\left({n^m}\right), результат будет зависеть от последовательности действий, например, (2^2)^3=4^3=64\!, а 2^\left({2^3}\right)=2^8=256. Принято считать запись a^{n^m} равнозначной a^\left({n^m}\right), а вместо (a^n)^m можно писать просто a^{nm}, пользуясь предыдущим свойством. Впрочем некоторые языки программирования не придерживаются этого соглашения (см. ниже).
  7. возведение в степень не обладает свойством коммутативности (переместительности): вообще говоря, a^b\ne b^a, например, 2^5=32, но 5^2=25.

Существует алгоритм быстрого возведения в степень, выполняющий возведение в степень за меньшее, чем в определении, число умножений.

Целая степень[править | править вики-текст]

	a^z = \begin{cases} 
              a^{z}, & z>0
           \\ 1, & z=0, a \ne \; 0
           \\ \frac{1}{a^{|z|}}, & z<0, a \ne \; 0
              \end{cases}
0^n,n \leqslant 0 не определён

Рациональная степень[править | править вики-текст]

По определению, a^{p\over q} = (\sqrt[q]{a})^p, \quad p \in \mathbb{Z}, q \in \mathbb{N}

Результат не определен при a=0 и p/q \leqslant 0.

Для отрицательных a в случае нечётного p и чётного q в результате вычисления степени получаются комплексные числа. См. подробнее Корень (математика)

Вещественная степень[править | править вики-текст]

Пусть a\geqslant 0, r  — вещественные числа, причём r — иррациональное число. Определим значение a^r следующим образом.

Как известно, любое вещественное число можно приблизить, сверху и снизу, двумя рациональными числами, то есть можно подобрать для r рациональный интервал ~[p,q] с любой степенью точности. Тогда общая часть всех соответствующих интервалов [a^p, a^q] состоит из одной точки, которая и принимается за a^r.

Другой подход основан на теории рядов и логарифмов. (см. определение комплексной степени)

Потенцирование[править | править вики-текст]

Потенцирование (от нем. potenzieren, возведение в степень) — это нахождение числа по известному значению его логарифма, то есть решение уравнения:

\log_a~x = b

Из определения логарифма вытекает, что x = a^b. Таким образом, потенцирование означает возведение основания логарифма в степень, равную значению логарифма. Например, если десятичный логарифм числа равен L, то искомое число равно 10^L.

Термин «потенцирование» впервые встречается у швейцарского математика Иоганна Рана (1659).

Комплексная степень[править | править вики-текст]

Сначала покажем, как вычисляется экспонента e^z, где e — число Эйлера, z — произвольное комплексное число, z=x+yi.

\,e^z = e^xe^{yi} = e^x(\cos y + i \sin y) = e^x\cos y + ie^x\sin y.

Теперь рассмотрим общий случай a^b, где a,b оба являются комплексными числами. Проще всего это сделать, представив a в экспоненциальной форме и используя тождество a^b=e^{b\ \operatorname{Ln}(a)}, где Ln — комплексный логарифм:

\,a^b = (re^{{\theta}i})^b = (e^{\operatorname{Ln}(r) + {\theta}i})^b = e^{(\operatorname{Ln}(r) + {\theta}i)b}.

Следует иметь в виду, что комплексный логарифм — многозначная функция, так что, вообще говоря, комплексная степень определена неоднозначно.

Степень как функция[править | править вики-текст]

Поскольку в выражении x^y принимают участие две переменные, то его можно рассматривать как:

Полезные формулы[править | править вики-текст]

x^y = a^{y\log_ax}
x^y = e^{y\ln x}
x^y = 10^{y\lg x}

Последние две формулы используют для возведения положительных чисел в произвольную степень на электронных калькуляторах (включая компьютерные программы), не имеющих встроенной функции x^y.

Употребление в устной речи[править | править вики-текст]

Запись a^n обычно читается как «a в n-ой степени» или «a в степени n». Например, 10^4 читается как «десять в четвёртой степени», 10^{3/2} читается как «десять в степени три вторых (или: полтора)».

Для второй и третьей степени существуют специальные названия: возведение в квадрат и в куб соответственно. Так, например, 10^2 читается как «десять в квадрате», 10^3 читается как «десять в кубе». Такая терминология возникла из древнегреческой математики. Древние греки формулировали алгебраические конструкции на языке геометрической алгебры (англ.). В частности, вместо умножения чисел, они говорили о площади прямоугольника, или об объёме параллелепипеда. Таким образом, вместо a^2, \ a^3 древние греки говорили «квадрат на отрезке a», «куб на a». По этой причине четвёртую степень и выше древние греки избегали[1].

В разговорной речи иногда говорят, например, что a^3 — это «a умноженное само на себя три раза»[2], имея в виду, что берется три множителя a. Это не совсем точно и может привести к двусмысленности, так как количество операций умножения будет на одну меньше: a^3=a \cdot a \cdot a (три множителя, но два умножения). Часто когда говорят, «a умноженное само на себя три раза», имеют в виду количество умножений, а не множителей, то есть a^4[3]. Чтобы избежать двусмысленности, можно говорить, к примеру: третья степень — это когда «число три раза входит в умножение»[4].

Значок степени[править | править вики-текст]

В Европе сначала степень записывали как произведение — например, x^4 изображалось как xxxx. Первые попытки сокращённой записи осуществили в XVII веке Пьер Эригон и шотландский математик Джеймс Юм, они записывали x^4 в виде x4 и x^{IV} соответственно[5]. Начиная с Декарта, степень обозначали «двухэтажной» записью вида a^b.

Когда появились компьютеры и компьютерные программы, возникла проблема, состоящая в том, что в тексте компьютерных программ невозможно записать степень таким способом. В связи с этим изобрели особые значки для операции возведения в степень. Первым таким значком были две звёздочки: **, используемые в языке Фортран. В появившемся несколько позже языке Алгол использовался значок стрелки: (стрелки Кну́та). В языке Бейсик предложен символ ^циркумфлекс»), который приобрёл наибольшую популярность, его часто используют и при написании формул и математических выражений не только в языках программирования и компьютерных системах, но и в текстовых файлах, а также при общении в Интернете. Примеры:

3^2=9; 5^2=25; 2^3=8; 5^3=125.

Случается, что циркумфлекс используют и при написании сложных, громоздких математических выражений и формул на бумаге (особенно с громоздким показателем).

Иногда в компьютерных системах и языках программирования значок возведения в степень имеет левую ассоциативность, в отличие от принятого в математике соглашения о правой ассоциативности возведения в степень. То есть некоторые языки программирования (например, программа Excel) могут воспринимать запись a^b^c, как (a^b)^c, тогда как другие системы и языки (например, Haskell, Perl, Wolfram|Alpha и многие другие) обработают эту запись справа налево: a^(b^c), как это принято в математике: a^{b^c}=a^\left({b^c}\right).

Некоторые знаки возведения в степень в языках программирования и компьютерных системах:

Языки JavaScript, Си и Паскаль не имеют специального значка и используют для возведения в степень функции.

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Ван дер Варден. Пробуждающаяся наука. Математика древнего Египта, Вавилона и Греции / Пер. с голл. И. Н. Веселовского. — М., 1959. — С. 165-167. — 456 с.
  2. Морган Джонс. Ламповые усилители. — Litres, 2014-01-16. — С. 29. — 762 с. — ISBN 9785457531772.
  3. Август Давидов. Начальная алгебра. — Типографія Э. Лисслер и Ю. Роман, 1883-01-01. — С. 6. — 534 с.
  4. Румовский С. Я. Сокращения математики. — Directmedia, 2014. — С. 80. — ISBN 978-5-4458-1644-7.
  5. Александрова Н. В., 2008, с. 130—131.
Комментарии
  1. Для целой степени
  2. Для неотрицательной целой степени
  3. Поддерживает отрицательные степени, в отличие от ^, реализованной только как последовательное умножение
  4. Начиная с версии 5.6 [1]
  5. Для степени, представленной числом с плавающей запятой — реализовано через логарифм
  6. Для рациональных степеней

Литература[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]