Временное среднее

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Временно́е среднее функции по траектории динамической системы — это предел чезаровских средних значений функции в точках траектории.

Рассмотрим динамическую систему c дискретным временем, заданную итерациями отображения . Пусть на фазовом пространстве задана функция . Частичным временны́м средним функции по орбите точки за шагов называется чезаровское среднее значений функции в точках орбиты:

.

Временны́м средним называется предел частничных временных средних при :

Для системы с непрерывным временем временное среднее определяется следующим образом. Пусть преобразование фазового потока задается функцией . Тогда временное среднее определяется как предел следующего вида:

Одним из важных результатов эргодической теории является равенство временных и пространственных средних (т.е. интеграла по пространству) непрерывных функций для почти всех траекторий эргодических систем.

Пример Боуэна дает пример системы, в которой типичная непрерывная функция не имеет временных средних для почти всех начальных условий.

Ссылки[править | править код]

  • Каток А. Б., Хассельблат Б. Введение в современную теорию динамических систем с обзором последних достижений / Пер. с англ. под ред. А. С. Городецкого. — М.: МЦНМО, 2005. — 464 с. — ISBN 5-94057-063-1.