Диагональный функтор

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В теории категорий, диагональный функтор — это функтор, в некотором смысле являющийся обобщением декартовой степени множества.

Для произвольной категории \mathcal{C} можно рассмотреть категорию функторов \mathcal{C}^\mathcal{J}, где \mathcal{J} — малая категория. Диагональный функтор \Delta : \mathcal{C} \rightarrow \mathcal{C}^\mathcal{J} сопоставляет каждому объекту категории \mathcal{C} постоянный функтор, отправляющий все объекты \mathcal{J} в этот объект, а все морфизмы — в тождественный морфизм. Каждому морфизму в \mathcal{C} он сопоставляет очевидное естественное преобразование функторов. Часто рассматривают случай, когда \mathcal{J} — дискретная категория из двух объектов, в этом случае мы получаем функтор \mathcal{C} \rightarrow \mathcal{C} \times \mathcal{C}.

Диагональный функтор предоставляет способ определить пределы и копределы функторов. Операция взятия предела диаграммы типа \mathcal{J} (если все пределы этого типа в категории существуют) — это функтор \mathcal{C}^\mathcal{J} \rightarrow \mathcal{C}, оказывается что функтор предела является правым сопряженным к диагональному функтору. Соответственно, функтор копредела, если все копределы нужного типа существуют, — левый сопряженный к диагональному.

Литература[править | править исходный текст]