Игра Пенни

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Игра Пенни (англ. Penney's game) — нетранзитивный парадокс, найденный Уолтером Пенни.

Описание[править | править исходный текст]

Описание парадокса впервые было опубликовано в октябре 1969 года в журнале Journal of Recreational Mathematics. Суть этого парадокса сводится к следующему: пусть А и Б играют в такую игру — сначала А выбирает произвольную двоичную последовательность (например, из нулей и единиц) длины 3 и показывает её игроку Б. Затем Б делает то же самое. Далее игроки строят случайную двоичную последовательность, в которой появление 0 и 1 равновероятно (например, бросают монету, считая выпадение орла за 1 и решки за 0). Выигрывает тот игрок, чья последовательность встретится раньше в этой случайной последовательности. Например, пусть игрок А выбрал тройку 001, а игрок Б — тройку 100. Пусть при 5-кратном бросании монеты получилась случайная последовательность 10100. Последние 3 цифры в ней — 100 — совпадают с тройкой, выбранной игроком Б, а тройка А не встретилась, поэтому после 5-го бросания монеты игрок Б выигрывает. Парадокс заключается в том, что для любой тройки игрока А найдётся такая тройка, которая выигрывает у неё с вероятностью, большей 1/2. То есть нет «самой сильной» тройки, для любой тройки найдётся более «сильная», которая выигрывает у неё с вероятностью, большей половины. Шансы на выигрыш у игрока Б в худшем случае равны 2/3. Если от троек перейти к четвёркам исходов, то шансы игрока Б на выигрыш станут ещё выше.

Мартин Гарднер по этому поводу пишет:

Ситуация эта малоизвестна, и большинство математиков просто не могут поверить в неё, когда слышат об открытии Пенни. Это — заведомо самое красивое надувательство (если надувательство может быть красивым), рассчитанное на простака.

[1]

В следующей таблице приведены вероятности выигрыша игрока Б с тройками исходов.

000 001 010 011 100 101 110 111
000 1/2 2/5 2/5 1/8 5/12 3/10 1/2
001 1/2 2/3 2/3 1/4 5/8 1/2 7/10
010 3/5 1/3 1/2 1/2 1/2 3/8 7/12
011 3/5 1/3 1/2 1/2 1/2 3/4 7/8
100 7/8 3/4 1/2 1/2 1/2 1/3 3/5
101 7/12 3/8 1/2 1/2 1/2 1/3 3/5
110 7/10 1/2 5/8 1/4 2/3 2/3 1/2
111 1/2 3/10 5/12 1/8 2/5 2/5 1/2

Чтобы найти выигрышную тройку, в верхней строке таблицы найдите тройку игрока А, а в её столбце ищите максимальное число. В строке с этим числом в левом столбце будет стоять тройка игрока Б, которая выигрывает против заданной тройки игрока А с максимальной вероятностью. Например, пусть игрок А выбрал тройку 000. В 1-м столбце таблицы ищем наибольшее число, это 7/8. В левом столбце строки с числом 7/8 читаем тройку игрока Б 100, которая выигрывает против тройки 000 с вероятностью 7/8. Действительно: если при бросании монеты последовательность не начинается на 000, то, когда эта тройка впервые появится в случайной последовательности, ей будет предшествовать 1, а это значит, что тройка 100 встретилась раньше и игрок Б выиграл. Тройка 000 выигрывает против тройки 100, только если 000 встретится в самом начале случайной последовательности, а вероятность этого равна 1/8.

Оптимальная стратегия для первого игрока (для любой длины последовательности не менее 4) была найдена венгерским математиком и криптографом Яносом Чириком[2].

См. также[править | править исходный текст]

Примечания[править | править исходный текст]

  1. Гарднер Мартин Путешествие во времени = Time Travel and Other Mathematical Bewilderments. — М.: «Мир», 1990. — С. 75. — 341 с. — ISBN 5-03-001166-8
  2. János A. Csirik Optimal Strategy for the First Player in the Penney Ante Game // Combinatorics, Probability and Computing. — Cambridge University Press, 1992. — В. 1. — С. 311-321. — DOI:10.1017/S0963548300000365

Ссылки[править | править исходный текст]