Инварианты Карминати — Макленахана

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В общей теории относительности инварианты Карминати — Макленахана (англ. Carminati-McLenaghan invariants, CM scalars) составляют один из наборов скалярных инвариантов кривизны. Они включают в себя 16 скаляров, получаемых из тензора Римана.

Определение[править | править вики-текст]

Инварианты Карминати — Макленахана состоят из 6 действительных скаляров и 5 комплексных (всего 16 действительных чисел). Они определяются через тензор Вейля , его левый (или правый) дуальный тензор , тензор Риччи и его бесследовую часть

Действительные скаляры:

  1. (скалярная кривизна, след тензора Риччи),
  2. ,
  3. ,
  4. ,
  5. ,
  6. .

Комплексные скаляры:

  1. ,
  2. ,
  3. ,
  4. ,
  5. .

Эти инварианты имеют следующие степени относительно компонент кривизны:

  1. линеен по ним,
  2. квадратичны,
  3. кубичны,
  4. имеют четвёртую степень, а
  5.  — пятую.

Они могут быть выражены также непосредственно через спинор Риччи и спинор Вейля в формализме Ньюмана — Пенроуза (см. ссылку ниже).

Полный набор инвариантов[править | править вики-текст]

Вообще полное число алгебраически независимых (то есть не выражаемых друг через друга полиномиально) инвариантов пространства-времени равно 14, однако известно, что любой набор выражений, включающий полный набор инвариантов, должен быть больше этого, при этом часть инвариантов будет связана полиномиальными уравнениями, решения которых не выражаются полиномиально — сизигиями[1].

Для случая сферически-симметричного пространства-времени или пространства-времени с одномерной трансляционной инвариантностью (planar symmetric spacetimes) известно, что инварианты

составляют полное множество инвариантов тензора Римана — то есть включают в себя все алгебраически независимые инварианты. В случае вакуумных, электровакуумных решений или решений с идеальной жидкостью полное множество образуют инварианты Карминати — Макленахана. В более общих случаях требуется большее число инвариантов; определение их точного числа (и возможных связей между ними) представляет собой нерешённую проблему.

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Hans Stephani, Dietrich Kramer, Malcolm MacCallum, Cornelius Hoenselaers, Eduard Herlt. 9.1 Scalar invariants and covariants // Exact solutions of Einstein's field equations. — 2nd Ed.. — Cambridge University Press, 2003. — P. 113—114. — (Cambridge Monographs on Mathematical Physics). — ISBN 9780521461368.

Литература[править | править вики-текст]

  • Carminati, J. and McLenaghan, R. G. (1991). «Algebraic invariants of the Riemann tensor in a four-dimensional Lorentzian space». J. Math. Phys. 32: 3135–3140. DOI:10.1063/1.529470.

Ссылки[править | править вики-текст]

  • Сайт GRTensor II содержит мануал к одноименному пакету с определениями и разбором применений инвариантов Карминати — Макленахана.