Скалярная кривизна

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Скалярная кривизна — один из инвариантов риманова многообразия, получаемый свёрткой тензора Риччи с метрическим тензором. Обычно обозначается или .

Определение[править | править код]

Скалярную кривизну можно определить как след след тензора Риччи или как удвоенный след оператора кривизны.

Пользуясь соглашением Энштейна, это можно записать через компоненты метрического тензора и тензора Риччи

Уравнения гравитационного поля[править | править код]

В общей теории относительности функционал действия для гравитационного поля выражается посредством интеграла по четырёхмерному объему от скалярной кривизны:

Поэтому уравнения гравитационного поля могут быть получены путём взятия производной Эйлера — Лагранжа от скалярной плотности кривизны [1].

Свойства[править | править код]

  • Для двумерных римановых многообразий скалярная кривизна совпадает с удвоенной гауссовой кривизной многообразия.
    • Интеграл по гауссовой кривизне равен эйлеровой характеристике поверхности умноженной на — это утверждение составляет суть теоремы Гаусса — Бонне.

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

  1. Научная Сеть >> Теория относительности для астрономов