Интеграл Виноградова

Интеграл Виноградова — кратный интеграл вида

$\int \limits _{0}^{1}\int \limits _{0}^{1}\ldots \int \limits _{0}^{1}|S|^{2k}\,d\alpha _{1}\,d\alpha _{2}\ldots d\alpha _{n},$

где

$S=\sum _{1\leqslant x\leqslant P}e^{2\pi i(\alpha _{1}x+\alpha _{2}x^{2}+\ldots +\alpha _{n}x^{n})},$

являющийся средним значением степени 2k модуля тригонометрической суммы. Теорема Виноградова о величине этого интеграла — теорема о среднем — лежит в основе оценок сумм Вейля. Интеграл применяется при решении проблем аналитической теории чисел.

Значение интеграла Виноградова соответствует числу решений следующей системы уравнений:

${\begin{cases}x_{1}+\ldots +x_{k}=y_{1}+\ldots +y_{k},\\x_{1}^{2}+\ldots +x_{k}^{2}=y_{1}^{2}+\ldots +y_{k}^{2},\\\cdots \\x_{1}^{n}+\ldots +x_{k}^{n}=y_{1}^{n}+\ldots +y_{k}^{n}.\end{cases}}$

где неизвестные $x_{1},\ldots ,x_{k},y_{1},\ldots ,y_{k}$ могут принимать целые значения от 1 до $P,P\geqslant 1$.

Литература

• Архипов Г. И., Карацуба А. А. Новая оценка интеграла И. М. Виноградова // Изв. АН СССР. Сер. мат. — 1978. — № 42. — С. 751—762.
• Виноградова интеграл // Математическая энциклопедия. Т. 1 / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: Советская энциклопедия. — 1977.
• Виноградов И. M. Метод тригонометрических сумм в теории чисел. — М.: Наука, 1971.