Суммы Вейля

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Определение[править | править вики-текст]

Суммами Вейля называются тригонометрические суммы вида

,

где , а функция

есть многочлен степени с вещественными коэффициентами. Название "суммы Вейля" для тригонометрических сумм такого вида было предложено И.М. Виноградовым в честь впервые подробно рассмотревших их Г. Вейля.

Рациональные суммы Вейля[править | править вики-текст]

Важным примером сумм Вейля являются рациональные суммы Вейля, когда все коэффициенты многочлена — рациональные числа. Более точно, рациональными суммами Вейля (по модулю ) называются суммы Вейля с функцией :

,

где — некоторое фиксированное целое число, , а

есть многочлен степени с целыми коэффициентами.

Примеры рациональных сумм Вейля[править | править вики-текст]

  • Если , то указанная сумма является линейной тригонометрической суммой.
  • Если — простое число, то суммы Вейля с многочленом называются суммами Гаусса порядка , а при — суммами Гаусса.
  • Если — простое число, то для каждого , не кратного , в поле вычетов всегда существует число , обратное к :
, и при этом .
Таким образом, рациональные суммы Вейля с многочленом могут быть записаны в виде
,
(штрих у знака суммы означает, что суммирование ведется по всем , не кратным ) и называются суммами Клостермана.

Оценки сумм Вейля[править | править вики-текст]

Оценки сумм Вейля играют важную роль в многих задачах аналитической теории чисел. Существует несколько методов оценки сумм Вейля. Наиболее простой и известный из них — метод Гаусса.

Литература[править | править вики-текст]

  • Г.И. Архипов, А.А. Карацуба, В.Н. Чубариков. Теория кратных тригонометрических сумм. М.: Наука, 1987.
  • И.М. Виноградов. Избранные труды. М., 1952.