Пусть
q
{\displaystyle q}
— обратимый элемент поля
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
,
I
q
{\displaystyle I_{q}}
— двусторонний идеал свободной алгебры
K
{
x
,
y
}
{\displaystyle \mathbb {K} \{x,y\}}
, порождённый элементом
y
x
−
q
x
y
{\displaystyle yx-qxy}
.
Квантовой плоскостью называется фактор-алгебра
K
q
[
x
,
y
]
=
K
{
x
,
y
}
/
I
q
{\displaystyle \mathbb {K} _{q}[x,y]=\mathbb {K} \{x,y\}/I_{q}}
.
Пусть
R
{\displaystyle R}
— алгебра над полем
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
. Тогда пара
(
X
,
Y
)
{\displaystyle (X,Y)}
элементов из
R
{\displaystyle R}
, удовлетворяющая соотношению
Y
X
=
q
X
Y
{\displaystyle YX=qXY}
называется R-точкой квантовой плоскости. Имеет место естественная биекция
H
o
m
A
l
g
(
K
q
[
x
,
y
]
,
R
)
≅
{
(
X
,
Y
)
∈
R
×
R
:
Y
X
=
q
X
}
{\displaystyle Hom_{Alg}(\mathbb {K} _{q}[x,y],R)\cong \{(X,Y)\in R\times R:YX=qX\}}
.
Пусть
α
{\displaystyle \alpha }
— автоморфизм алгебры многочленов
K
[
x
]
{\displaystyle \mathbb {K} [x]}
, т.ч.
α
(
x
)
=
q
x
{\displaystyle \alpha (x)=qx}
. Тогда алгебра
K
q
[
x
,
y
]
{\displaystyle \mathbb {K} _{q}[x,y]}
изоморфна расширению Оре
K
[
x
]
[
y
,
α
,
0
]
{\displaystyle \mathbb {K} [x][y,\alpha ,0]}
.
Пусть
x
{\displaystyle x}
и
y
{\displaystyle y}
— переменные, подчинённые соотношению квантовой плоскости
y
x
=
q
x
y
{\displaystyle yx=qxy}
. Для
n
∈
N
{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
положим
(
n
)
q
=
1
+
q
+
.
.
.
+
q
n
−
1
=
q
n
−
1
q
−
1
{\displaystyle (n)_{q}=1+q+...+q^{n-1}={\frac {q^{n}-1}{q-1}}}
. Определим q-факториал числа
n
{\displaystyle n}
, полагая
(
0
)
!
q
=
1
,
(
n
!
)
q
=
(
q
)
1
(
2
)
q
.
.
.
(
n
)
q
=
(
q
−
1
)
(
q
2
−
1
)
.
.
.
(
q
n
−
1
)
(
q
−
1
)
n
{\displaystyle (0)!_{q}=1,{\text{ }}(n!)_{q}=(q)_{1}(2)_{q}...(n)_{q}={\frac {(q-1)(q^{2}-1)...(q^{n}-1)}{(q-1)^{n}}}}
. Определим многочлен Гаусса для
0
≤
k
≤
n
{\displaystyle 0\leq k\leq n}
по формуле
(
n
k
)
q
=
(
n
)
!
q
(
k
!
)
q
(
n
−
k
)
!
q
{\displaystyle {\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}}_{q}={\frac {(n)!_{q}}{(k!)_{q}(n-k)!_{q}}}}
. Тогда выполняется равенство:
(
x
+
y
)
n
=
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
q
x
k
y
n
−
k
{\displaystyle (x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}}_{q}x^{k}y^{n-k}}
.
Пусть
M
(
2
)
{\displaystyle M(2)}
— алгебра матриц
2
×
2
{\displaystyle 2\times 2}
,
x
{\displaystyle x}
и
y
{\displaystyle y}
— переменные, подчинённые соотношению квантовой плоскости
y
x
=
q
x
y
{\displaystyle yx=qxy}
,
a
,
b
,
c
,
d
{\displaystyle a,b,c,d}
— переменные, коммутирующие с
x
{\displaystyle x}
и
y
{\displaystyle y}
. Определим
x
′
,
y
′
,
x
″
,
y
″
{\displaystyle x',y',x'',y''}
матричными соотношениями:
(
x
′
y
′
)
=
(
a
b
c
d
)
(
x
y
)
и
(
x
″
y
″
)
=
(
a
c
b
d
)
(
x
y
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}{\text{ и }}{\begin{pmatrix}x''\\y''\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}}
. Тогда можно показать эквивалентность между двумя соотношениями квантовой плоскости
y
′
x
′
=
q
x
′
y
′
и
y
″
x
″
=
q
x
″
y
″
{\displaystyle y'x'=qx'y'{\text{ и }}y''x''=qx''y''}
и шестью соотношениями
b
a
=
q
a
b
,
c
a
=
q
a
c
,
b
c
=
c
b
,
{\displaystyle ba=qab,{\text{ }}ca=qac,{\text{ }}bc=cb,}
d
b
=
q
b
d
,
d
c
=
q
c
d
,
a
d
−
d
a
=
(
q
−
1
−
q
)
b
c
{\displaystyle db=qbd,{\text{ }}dc=qcd,{\text{ }}ad-da=(q^{-1}-q)bc}
. Определим алгебру
M
q
(
2
)
{\displaystyle M_{q}(2)}
как фактор-алгебру свободной алгебры
K
{
a
,
b
,
c
,
d
}
{\displaystyle \mathbb {K} \{a,b,c,d\}}
по двустороннему идеалу
J
q
{\displaystyle J_{q}}
, порождённому шестью соотношениями выше. Построенная алгебра
M
q
(
2
)
{\displaystyle M_{q}(2)}
является q-аналогом алгебры
M
(
2
)
{\displaystyle M(2)}
.
Кассель К. «Квантовые группы».