Расширение Оре

Расширение Оре — особый тип расширения кольца, свойства которого относительно хорошо изучены. Названо в честь Ойстина Оре.

Определение

Пусть $R$ — алгебра без делителей нуля, $R[t]$ — свободный (левый) R-модуль, состоящий из всех многочленов вида $P=a_{n}t^{n}+a_{n-1}t^{n-1}+...+a_{0}t_{0}$, где $a_{i}\in R$, степени $deg(P)=n$, $\alpha$ — мономорфизм из $R$ в себя и $\delta$ — некоторое $\alpha$-дифференцирование на $R$. Существует единственная структура алгебры на $R[t]$, т.ч. естественное включение $R\rightarrow R[t]$ является гомоморфизмом и выполняется соотношение $ta=\alpha (a)t+\delta (a)$ для всех $a\in R$.

Определённая таким образом алгебра называется расширением Оре, ассоциированным с тройкой $(R,\alpha ,\delta )$, и обозначается $R[t,\alpha ,\delta ]$.

Конструкция

Пусть $M$ — алгебра, состоящая из всех бесконечных матриц $(f_{ij})_{i,j\geq 1}$с элементами в алгебре $End(R)$, т.ч. в каждом столбце и в каждой строке этих матриц лишь конечное число элементов отличны от нуля. Единицей в $M$ является диагональная матрица $I$ с тождественными операторами на диагонали. Пусть ${\hat {a}}\in End(R)$ — оператор левого умножения на $a$. Тогда на $\alpha$ и $\delta$ наложены следующие условия:

$\alpha {\hat {a}}={\hat {\alpha (a)}}\alpha {\text{ и }}\delta {\hat {a}}={\hat {\alpha (a)}}\delta +{\hat {\delta (a)}}$. Рассмотрим бесконечную матрицу

$T={\begin{pmatrix}\delta &0&0&0&...\\\alpha &\delta &0&0&...\\0&\alpha &\delta &0&...\\0&0&\alpha &\delta &...\\...&...&...&...&...\end{pmatrix}}$.

Она позволяет определить инъективное линейное отображение $\Phi :R[t]\rightarrow M$ по формуле $\Phi \left(\sum _{i=0}^{n}a_{i}t^{i}\right)=\sum _{i=0}^{n}({\hat {a}}_{i}I)T^{i}$. Пусть $S$ — подалгебра в $M$, порождённая элементами $T$ и ${\hat {a}}I$ ($a\in R$). Она является образом $R[t]$ при отображении $\Phi$. Поскольку $\Phi$ является мономорфизмом, то оно индуцирует линейный изоморфизм между $R[t]$ и $S$, позволяющий индуцировать структуру алгебры $S$ на $R[t]$.

Литература

• Кассель, К. Квантовые группы = Ɔuantum groups / Пер. с англ. И. А. Дынникова под ред. В. М. Бухштабера. — М.: ФАЗИС, 1999. — 66 с. — ISBN 5-7036-0052-9.