Лемма Гронуолла — Беллмана

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В математике лемма Гронуолла, также называемая леммой Гронуолла-Беллмана, позволяет ограничить функцию, удовлетворяющую определенному дифференциальному или интегральному неравенству решением соответствующего дифференциального или интегрального уравнения[1][2]. Имеется две формулировки леммы — в дифференциальной и в интегральной формах. Лемма Гронуолла является важным инструментом при получении различных оценок в теории обыкновенных и стохастических дифференциальных уравнений. В частности, она используется при доказательстве единственности решения задачи Коши.

Формулировка[править | править вики-текст]

Пусть

при этом выполняется неравенство:

где — положительная константа.

Тогда при имеем оценку:

Доказательство[править | править вики-текст]

Из неравенства (1) получим:

и

А так как

то, проинтегрировав неравенство (3) в пределах от до , получим:

Отсюда, используя неравенство (1), получаем:

что и требовалось доказать.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Беллман Р., Теория устойчивости решений диференциальных уравнений, ИЛ, 1954
  2. Bihari J., A genralizatial of differential equations, Acta math. Acad. Scient. Hung. VII, 1 (1956), 81-94

Ссылки[править | править вики-текст]

  • PlanetMath
  • Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: «Наука», 1967.