Лемма Шварца
Перейти к навигации
Перейти к поиску
Лемма Шварца — классический результат комплексного анализа о гармонических отображениях из круга в себя.
Названа в честь Карлa Шварцa.
Формулировка
[править | править код]Пусть — единичный круг на комплексной плоскости . Далее, пусть функция аналитична в и удовлетворяет двум условиям:
- ;
- , или, что равносильно, .
Тогда:
- в ;
- .
Более того, оба эти неравенства превращаются в равенства тогда и только тогда, когда функция имеет вид , то есть она сводится к повороту. Идея доказательства в том, что функция будет аналитичной при и применения к ней принципа максимума для гармонических функций.
Вариации и обобщения
[править | править код]- Лемма Шварца применением к исходному кругу дробно-линейного отображения автоматически ведёт к более общему утверждению — теореме Шварца — Пика.
Литература
[править | править код]- Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука, 1969. — С. 192. — 577 с.
- Титчмарш Е. Теория функций: Пер. с англ. — 2-е изд., перераб. — М.: Наука, 1980. — 464 с.
- Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного: Пособие для высшей школы. — М.—Л.: Государственное издательство, 1927. — 316 с.
- Евграфов М. А. Аналитические функции. — 2-е изд., перераб. и дополн. — М.: Наука, 1968. — 472 с.