Пучок модулей

В математике, пучок модулей — это пучок над окольцованным пространством $(X,O_{X})$, обладающий структурой модуля над структурным пучком $O_{X}$.

Определение

Для окольцованного пространства $(X,O_{X})$, пучок $O_{X}$-модулей (или просто $O_{X}$-модуль) — это пучок $F$ над $X$, такой что $F(U)$ является $O_{X}(U)$-модулем для каждого открытого множества $U$, и для каждого открытого множества $V$, содержащегося в $U$, отображение ограничения $F(U)\to F(V)$ согласовано со структурой модулей: для каждых $a\in O_{X}(U),f\in F(U)$ имеем

$(af)|_{V}=a|_{V}f|_{V}$.

Морфизмом $O_{X}$-модулей $F\to G$ называется морфизм пучков, такой, что для любого открытого множества $U$ отображение $F(U)\to G(U)$ является морфизмом $O_{X}(U)$-модулей.

Примеры

• Структурный пучок $O_{X}$ является $O_{X}$-модулем. Пучок $O_{X}$-модулей, являющийся подпучком пучка $O_{X}$, называется пучком идеалов на $X$.
• Если $f:F\to G$ — морфизм $O_{X}$-модулей, то ядро, образ и коядро $f$ являются $O_{X}$-модулями.
• Любые прямые суммы, прямые произведения, прямые и обратные пределы $O_{X}$-модулей являются $O_{X}$-модулями. Пучок $O_{X}$-модулей называется свободным, если он изоморфен прямой сумме нескольких копий $O_{X}$. Пучок $O_{X}$-модулей $F$ называется локально свободным (ранга $r$) если у каждой точки $X$ существует открытая окрестность, на которой $F$ свободен (изоморфен прямой сумме $r$ копий пучка $O_{X}$). Локально свободный пучок ранга 1 называется также обратимым пучком.
• Если $F,G$ — пучки $O_{X}$-модулей, можно определить пучок морфизмов из $F$ в $G$ следующим образом:$U\mapsto Hom_{O_{X}(U)}(F(U),G(U)).$ Двойственный $O_{X}$-модуль к $O_{X}$--модулю $F$ — это модуль морфизмов из $F$ в $O_{X}$.
• Пучок, ассоциированный с предпучком $U\to F(U)\otimes _{O_{X}(U)}G(U)$ обозначается $F\otimes _{O_{X}}G$. Его слой в точке $x$ канонически изоморфен $F_{x}\otimes _{O_{X,x}}G_{x}$. Аналогично определяется симметрическое и внешнее произведение.

Литература

• Хартсхорн Р. Алгебраическая геометрия / пер. с англ. В. А. Исковских. — М.: Мир, 1981.
• Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean. «Éléments de géométrie algébrique: I. Le langage des schémas». Publications Mathématiques de l’IHÉS. 4, 1960.