Ядро (теория категорий)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В теории категорий ядро — категорный эквивалент ядра гомомрфизма из алгебры. Интуитивно, ядро морфизма f : XY — это «наиболле общий» морфизм k : KX, после которого применение f даёт нулевой морфизм.

Определение[править | править исходный текст]

Пусть C — категория с нулевыми морфизмами. Тогда ядро морфизма f : XY — это уравнитель его и нулевого морфизма 0 : XY. Более явно, выполняется следующее универсальное свойство:

Ядро f : XY — это морфизм k : KX, такой что:

  • f o k — нулевой морфизм из K в Y;
KerCat01.png
  • Для любого морфизма k′ : K′ → X, такого что f o k′ нулевой существует единственный морфизм u : K′ → K, такой что k o u = k'.
KerCat02.png

Примеры[править | править исходный текст]

Во многих категориях это определение ядра совпадает с обычным: если f : XY — гомоморфизм групп или модулей, то ядро в категорном смысле — это вложение ядра в алгебраическом смысле в прообраз.

Однако в категории моноидов ядра в категорном смысле аналогичны ядрам групп, поэтому определение ядра в теории моноидов немного отоличается. В категории колец, наоборот, ядер в категорном смысле не существует вовсе, так как не существует нулевых морфизмов. Интерпретировать ядра моноидов и колец в теории категорий можно при помощи концепции пар ядер.

Связь с другими категорными понятиями[править | править исходный текст]

Двойственное к ядру понятие — коядро, то есть ядро морфизма — это его коядро в двойственной категории, и наоборот.

Каждое ядро, как и любой другой уравнитель, является мономорфизмом. Обратно, мнономорфизм называется нормальным, если он является ядром другого морфизма. Категория называется нормальной, если любой мономорфизм в ней нормален.

В частности, абелевы категории являются нормальными. В этой ситуации, ядро коядра морфизма называется его образом. При этом каждый мономорфизм является своим собственным образом.

Литература[править | править исходный текст]

  • С. Маклейн Категории для работающего математика, — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4.
  • Paolo Aluffi Algebra: Chapter 0 (Graduate Studies in Mathematics). — 2009, ISBN 0-8218-4781-3.