Частное распределение

Частное распределение (маргинальное распределение) — вероятностное распределение вероятностей одной или множества случайных величин, рассматриваемых в качестве компоненты или множества компонент некоторого известного многомерного распределения. Частное распределение вероятностей можно вычислить, суммируя значения всех остальных величин из совместнного распределения вероятностей.

Иными словами, $P(X_{i})=\textstyle \sum _{\forall {X}\neq X_{i}}\displaystyle P(X_{1},X_{2},...,X_{n})$.

Определения

Пусть $F(x_{1},\ldots ,x_{n})$ — функция распределения для некоторой случайной величины. Если все переменные, за исключением фиксированного $x_{\gamma }$, стремятся к $+\infty$, то $F$ будет стремиться к пределу $F_{\gamma }$, который является некой функцией распределения переменной $x_{\gamma }$; так например, $F_{1}(x_{1})=F(x_{1},+\infty ,\ldots ,+\infty )$. Функция $F_{\gamma }(x_{\gamma })$ определяет некоторое одномерное распределение, которое называется частным распределением переменной $x_{\gamma }$.

Таким же образом задаётся частное распределение подмножества переменных.

Примеры

Пример со светофором и пешеходом

Допустим, что требуется вычислить вероятность того, что пешеход будет сбит автотранспортом, переходя дорогу на пешеходном переходе, не обращая внимания на сигнал светофора. Пусть $H$ (для пешехода) — это дискретная случайная величина, принимающая одно из значений из множества $\{{\text{Сбит}},{\text{Не сбит}}\}$, а $L$ (для сигнала светофора) — это дискретная случайная величина, принимающая одно из значений из множества $\{{\text{Красный}},{\text{Желтый}},{\text{Зеленый}}\}$.

Объективно, $H$ будет зависеть от $L$. То есть, $P(H={\text{Сбит}})$ будет принимать разные значения в зависимости от того, горит ли красный, желтый или зеленый свет, аналогично для $P(H={\text{Не сбит}})$. Например, человек более вероятно будет сбит машиной, если попытается перейти дорогу, когда для автотранспорта горит зеленый свет, чем если горит красный. Другими словами, для каждой пары значений $H$ и $L$ необходимо учитывать совместное распределение вероятностей $H$ и $L$, чтобы найти вероятность одновременного наступления этих событий, если пешеход игнорирует состояние светофора.

Однако при попытке вычислить частное распределение $P(H={\text{Сбит}})$ ищется вероятность того, что $H={\text{Сбит}}$ в ситуации, когда конкретное значение $L$ неизвестно и когда пешеход игнорирует сигнал светофора. В общем случае, пешеход может быть сбит при любом заданном сигнале светофора. Следовательно, частное распределение можно найти, суммируя $P(H|L)$ для всех возможных значений $L$, причем каждое значение $L$ взвешивается по своей вероятности наступления.

Следующая таблица, показывает условные вероятности быть сбитым, в зависимости от сигнала светофора:

Условное распределение: $P(H|L)$

L H	Красный	Желтый	Зеленый
Не сбит	0.99	0.9	0.2
Сбит	0.01	0.1	0.8

Для нахождения совместного распределения вероятностей требуется больше данных. Например, предположим, что $P(L={\text{Красный}})=0.2$, $P(L={\text{Желтый}})=0.1$, $P(L={\text{Зеленый}})=0.7$. Умножая каждый столбец в условном распределении на вероятность наступления соответствующего сигнала светофора, мы получаем совместное распределение вероятностей $H$ и $L$:

Совместное распределение: $P(H,L)$

L H	Красный	Желтый	Зеленый	$P(H)$
Не сбит	0.198	0.09	0.14	0.428
Сбит	0.002	0.01	0.56	0.572
Сумма	0.2	0.1	0.7	1

Частное распределение $P(H={\text{Сбит}})=0.002+0.01+0.56=0.572$, так как это вероятность быть сбитым при красном, желтом или зеленом сигнале светофора. Аналогично, для $P(H={\text{Не сбит}})$ — это сумма по соответствующей строке.