Распределение вероятностей

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Распределение вероятностей — это закон, описывающий область значений случайной величины и вероятности их исхода (появления).

Определение[править | править вики-текст]

Определение 1. Пусть задано вероятностное пространство , и на нём определена случайная величина . В частности, по определению, является измеримым отображением измеримого пространства в измеримое пространство , где обозначает борелевскую сигма-алгебру на . Тогда случайная величина индуцирует вероятностную меру на следующим образом:

Мера называется распределением случайной величины . Иными словами, , таким образом задаёт вероятность того, что случайная величина попадает во множество .

Способы задания распределений[править | править вики-текст]

Определение 2. Функция называется (кумулятивной) функцией распределения случайной величины . Из свойств вероятности вытекает

Теорема 1. Функция распределения любой случайной величины удовлетворяет следующим трем свойствам:

  1.  — функция неубывающая;
  2. ;
  3. непрерывна справа.

Из того факта, что борелевская сигма-алгебра на вещественной прямой порождается семейством интервалов вида , вытекает

Теорема 2. Любая функция , удовлетворяющая трём свойствам, перечисленным выше, является функцией распределения для какого-то распределения .

Для вероятностных распределений, обладающих определенными свойствами, существуют более удобные способы его задания.

Дискретные распределения[править | править вики-текст]

Определение 3. Случайная величина называется простой или дискретной, если она принимает не более, чем счётное число значений. То есть , где  — разбиение .

Распределение простой случайной величины тогда по определению задаётся: . Введя обозначение , можно задать функцию . Очевидно, что . Используя счётную аддитивность , легко показать, что эта функция однозначно определяет распределение .

Определение 4. Функция , где часто называется дискретным распределением.

Пример 1. Пусть функция задана таким образом, что и . Эта функция задаёт распределение случайной величины , для которой (распределение Бернулли).

Теорема 3. Дискретное распределение обладает следующими свойствами:

1. ;

2. .

Решётчатые распределения[править | править вики-текст]

Определение 5. Решётчатым называется распределение с дискретной функцией распределения и точки разрыва функции распределения образуют подмножество точек вида , где - вещественное, , - целое[1].

Пример 2. Распределение Пуассона является решётчатым.

Пример 3. Биномиальное распределение является решётчатым.

Теорема 4. Для того, чтобы функция распределения была решётчатой с шагом , необходимо и достаточно, чтобы её характеристическая функция удовлетворяла соотношению [1].

Доказательство.

Необходимость. Обозначим как множество, содержащее все точки разрыва функции и . Тогда характеристическая функция . Следовательно, и .

Достаточность. Если , то для некоторого вещественного . Тогда . Из этого равенства следует: В силу неотрицательности подынтегральной функции, мера множества равна нулю. Таким образом, функция распределения может иметь своими точками роста лишь точки из множества [1].

Следствием этой теоремы является следующее свойство решётчатых распределений: если решётчатая функция распределения c шагом является свёрткой функций распределения и , то и также являются решётчатыми с шагом [1].

Доказательство. Обозначим через характеристические функции функций распределения . Тогда . Так как модуль любой характеристической функции на вещественной оси не превосходит , то и доказательство завершено[1].

Непрерывные распределения[править | править вики-текст]

Непрерывное распределение — распределение, не имеющее атомов.

Абсолютно непрерывные распределения[править | править вики-текст]

Абсолютно непрерывными называют распределения, имеющие плотность вероятности. Кумулятивная функция таких распределений абсолютно непрерывна в смысле Лебега.

Определение 6. Распределение случайной величины называется абсолютно непрерывным, если существует неотрицательная функция , такая что . Функция тогда называется плотностью распределения случайной величины .

Пример 4. Пусть , когда , и  — в противном случае. Тогда , если .

Очевидно, что для любой плотности распределения верно равенство . Верна и обратная

Теорема 5. Если функция такая, что:

  1. ;
  2. ,

то существует распределение такое, что является его плотностью.

Просто применение формулы Ньютона-Лейбница приводит к простому соотношению между кумулятивной функцией и плотностью абсолютно непрерывного распределения.

Теорема 6. Если  — непрерывная плотность распределения, а  — его кумулятивная функция, то

  1. .

При построении распределения по эмпирическим (опытным) данным следует избегать ошибок округления.

Сингулярные распределения[править | править вики-текст]

Сингулярными называют распределения, сосредоточенные на множестве нулевой меры (обычно меры Лебега).

Примечания[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Рамачандран Б. Теория характеристических функций. — М.: Наука, 1975. — 224 с.


Bvn-small.png п о р       Вероятностные распределения
Одномерные Многомерные
Дискретные: Бернулли | Биномиальное | Геометрическое | Гипергеометрическое | Логарифмическое | Отрицательное биномиальное | Пуассона | Дискретное равномерное Мультиномиальное
Абсолютно непрерывные: Бета | Вейбулла | Гамма | Гиперэкспоненциальное | Распределение Гомпертца | Колмогорова | Коши | Лапласа | Логнормальное | Нормальное (Гаусса) | Логистическое | Накагами | Парето | Пирсона | Полукруговое | Непрерывное равномерное | Райса | Рэлея | Стьюдента | Трейси — Видома | Фишера | Хи-квадрат | Экспоненциальное | Variance-gamma Многомерное нормальное | Копула