Распределение вероятностей

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Распределение вероятностей — это закон, описывающий область значений случайной величины и вероятности их исхода (появления).

Определение[править | править код]

Определение 1. Пусть задано вероятностное пространство , и на нём определена случайная величина . В частности, по определению, является измеримым отображением измеримого пространства в измеримое пространство , где обозначает борелевскую сигма-алгебру на . Тогда случайная величина индуцирует вероятностную меру на следующим образом:

Мера называется распределением случайной величины . Иными словами, , таким образом задаёт вероятность того, что случайная величина попадает во множество .

Классификация распределений[править | править код]

Определение 2. Функция называется (кумулятивной) функцией распределения случайной величины . Из свойств вероятности вытекает

Теорема 1. Функция распределения любой случайной величины удовлетворяет следующим трем свойствам:

  1.  — функция неубывающая;
  2. ;
  3. непрерывна справа.

Из того факта, что борелевская сигма-алгебра на вещественной прямой порождается семейством интервалов вида , вытекает

Теорема 2. Любая функция , удовлетворяющая трём свойствам, перечисленным выше, является функцией распределения для какого-то распределения .

Для вероятностных распределений, обладающих определенными свойствами, существуют более удобные способы его задания. В то же время распределения(и случайные величины) принято классифицировать по характеру функций распределения[1]

Дискретные распределения[править | править код]

Определение 3. Случайная величина называется простой или дискретной, если она принимает не более, чем счётное число значений. То есть , где  — разбиение .

Распределение простой случайной величины тогда по определению задаётся: . Введя обозначение , можно задать функцию . В силу свойств вероятности . Используя счётную аддитивность , легко показать, что эта функция однозначно определяет распределение .

Определение 4. Функция , где часто называется дискретным распределением.

Пример 1. Пусть функция задана таким образом, что и . Эта функция задаёт распределение случайной величины , для которой (распределение Бернулли).

Пример 2. Распределение Пуассона является дискретным.

Пример 3. Биномиальное распределение является дискретным.

Пример 4. Геометрическое распределение является дискретным.

Теорема 3. Дискретное распределение обладает следующими свойствами:

1. ,

2. , если множество значений - конечное — из свойств вероятности;

3. Функция распределения имеет конечное или счётное множество точек разрыва первого рода,

4. Если - точка непрерывности , то существует .

Решётчатые распределения[править | править код]

Определение 5. Решётчатым называется распределение с дискретной функцией распределения и точки разрыва функции распределения образуют подмножество точек вида , где - вещественное, , - целое[2].

Теорема 4. Для того, чтобы функция распределения была решётчатой с шагом , необходимо и достаточно, чтобы её характеристическая функция удовлетворяла соотношению [2].

Абсолютно непрерывные распределения[править | править код]

Основная статья: Плотность вероятности

Абсолютно непрерывными называют распределения, имеющие плотность вероятности. Кумулятивная функция таких распределений абсолютно непрерывна в смысле Лебега.

Пример 5. Нормальное распределение является абсолютно непрерывным.

Пример 6. Равномерное распределение является абсолютно непрерывным.

Пример 7. Экспоненциальное распределение является абсолютно непрерывным.

Пример 8. Распределение Коши является абсолютно непрерывным.

Определение 6. Распределение случайной величины называется абсолютно непрерывным, если существует неотрицательная функция , такая что . Функция тогда называется плотностью распределения случайной величины .

Пример 9. Пусть , когда , и  — в противном случае. Тогда , если .

Для любой плотности распределения верны свойства:

  1. ;
  2. .

Верно и обратное — если функция такая, что:

  1. ;
  2. ,

то существует распределение такое, что является его плотностью.

Применение формулы Ньютона-Лейбница приводит к следующим соотношениям между функцией и плотностью абсолютно непрерывного распределения:

.

Теорема 5. Если  — непрерывная плотность распределения, а  — его функция распределения, то

  1. .

При построении распределения по эмпирическим (опытным) данным следует избегать ошибок округления.

Сингулярные распределения[править | править код]

Кроме дискретных и непрерывных случайных величин существуют величины, не являющиеся ни на одном интервале ни дискретными, ни непрерывными. К таким случайным величинам относятся, например, те, функции распределения которых непрерывные, но возрастают только на множестве лебеговой меры нуль.[3]

Сингулярными называют распределения, сосредоточенные на множестве нулевой меры (обычно меры Лебега).

Примечания[править | править код]

  1. Маталыцкий, Хацкевич. Теория вероятностей, математическая статистика и случайные процессы, 2012. - С.69
  2. 1 2 Рамачандран, 1975, с. 38.
  3. Маталыцкий, Хацкевич. Теория вероятностей, математическая статистика и случайные процессы, 2012. — С.76

Литература[править | править код]

См. также[править | править код]