Матрица Коши (дифференциальные уравнения)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

В математике матрицей Коши (также импульсная функция, матрицант) системы дифференциальных уравнений

, , ,

называется матрица

,

где матрицант данной системы (нормировка: , ).

(Иногда не , а саму матрицу Коши называют матрицантом.)

Решение систем неоднородных дифференциальных линейных уравнений[править | править код]

Матрица Коши используется для представления с её помощью решений систем неоднородных дифференциальных линейных уравнений. Любое решение неоднородной системы:

где — локально суммируемая функция на может быть представлено через матрицу Коши однородной системы:

в виде:

Свойства[править | править код]

  • непрерывна в
  • Для любых t, s и r принадлежащих интервалу верны следующие утверждения:
    1. Если  — матрица сопряжённой системы
      , ,
      то
    2. где норма матрицы.

Система дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами[править | править код]

В случае матрицант равен

,

где матричная экспонента, следовательно, матрица Коши:

,
,

таким образом, в этом случае для получения матрицы Коши достаточно подставить (t - s) в качестве аргумента матрицанта.

Общее решение системы линейных неоднородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами имеет вид:

Литература[править | править код]

  • Математическая энциклопедия Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] М., «Советская Энциклопедия», 1977—1985 гг.
  • А.Н. Тихонов, А.Б. Васильева, А.Г. Свешников. Курс высшей математики и математической физики. Дифференциальные уравнения. — Физматлит, 2005. — ISBN 5-9221-0277-X.