Многосортная алгебра

Многосортная алгебра — алгебраическая система с несколькими носителями. Любая алгебраическая система может быть описана как многосортная алгебра. Многосортные алгебры широко применяются в современном теоретическом программировании.

Формулировка

Многосортной алгеброй называется упорядоченная пара $((A_{i})_{i\in I},\Omega )$, где элементы семейства множеств $(A_{i})_{i\in I}$ называют сортами, а множество $\Omega$, называемое многосортной сигнатурой, состоит из многосортных операций - отображений вида $\omega :A_{i_{1}}\times ...\times A_{i_{n}}\rightarrow A_{i_{0}}$. Операцию $\omega$ называют при этом n-арной операцией типа $(i_{0},i_{1},...i_{n})$.

Пример

Рассмотрим в качестве примера многосортную алгебру $(V_{3},R,+(1,1,1),\cdot (1,2,1),(\cdot )(2,1,1),\times (1,1,1),\circ (2,1,1,1))$. В качестве первого сорта используется множество $V_{3}$ трехмерных свободных геометрических векторов, в качестве второго сорта - множество действительных чисел. Первая операция - бинарная операция $+$ сложения векторов. Результатом операции является вектор, аргументами - тоже векторы, поэтому она имеет тип $(1,1,1)$. Вторая операция - бинарная операция $\cdot$ левого умножения вектора на число. Результатом операции является вектор, первый аргумент- число, второй аргумент - вектор, поэтому она имеет тип $(1,2,1)$. Третья операция - бинарная операция $(\cdot )$ скалярного умножения векторов. Результатом операции является число, она имеет тип $(2,1,1)$. Четвертая операция - бинарная операция $\times$ векторного умножения векторов. Результатом операции является вектор, она имеет тип $(1,1,1)$. Пятая операция - тернарная операция $\circ$ смешанного умножения векторов. Результатом операции является число, она имеет тип $(2,1,1,1)$.

Свойства

Любая алгебраическая система может быть описана как многосортная алгебра.

Литература

• Белоусов А. И., Ткачев С. Б. Дискретная математика. — М.: МГТУ, 2006. — 744 с. — ISBN 5-7038-2886-4.