Модель SABR

Модель SABR (stochastic alpha-beta-rho) — в финансовой математике модель динамики цен активов или процентных ставок со стохастической волатильностью следующего вида:

$dF_{t}=\sigma _{t}F_{t}^{\beta }dW_{t}^{F}$

$d\sigma _{t}=\alpha \sigma _{t}dW_{t}^{\sigma }$

$dW_{t}^{F}dW_{t}^{\sigma }=\rho dt$

Модель позволяет объяснить так называемую улыбку вменённой волатильности в рамках модели Блэка-Шоулза или Башелье. По существу такая модель является существенно обобщенной и включает в себя в качестве частных или предельных случаев некоторые другие базовые модели, например если параметр "волатильность волатильности" равен нулю, то получим так называемую CEV-модель, которая свою очередь в качестве предельных частных случае содержит нормальную модель (нулевая "бетта"), логнормальную модель ("бетта" равно 1). Также возможно рассмотрение модели с нулевой корреляцией - в таком случае обобщение "классических" моделей заключается просто в наличии некоторого разброса "сигмы", например в рамках нормальной или логнормальной модели.

При моделировании процентных ставок обычно модель описывает форвардную ставку для конкретного будущего периода в соответствующей форвардной мере. Соответственно параметры аналогичных моделей для форвардных ставок разной срочности могут потенциально иметь разные значения параметров. Совместное моделирование одновременно всех форвардных ставок разных срочностей возможно, например, в рамках модели SABR-LMM.

При вышеописанной формулировке отрицательные значения основного процесса недопустимы. Для учёта теоретической возможности отрицательных ставок/цен используют также модель со смещением (shifted SABR):

$dF_{t}=\sigma _{t}(F_{t}+s)^{\beta }dW_{t}^{F}$

Формула для вмененной волатильности Блэка (логнормальной, относительной)

Хаган, Кумар, Лесниевски и Вудворд в 2002 году вывели приближенную формулу для вмененной волатильности. В дальнейшем указанную формула была исправлена/скорректирована работами Berestickiy (2004) и Obloj (2008). Ниже приводится исправленная версия формулы:

$\sigma _{BS}^{imp}(F,K,\tau )=I^{0}(1+I^{1}\varepsilon )+O(\varepsilon ^{2})$

где $\varepsilon =\alpha ^{2}\tau$ (где $\tau$ - срок до экспирации опциона в годах):

$I^{0}={\frac {\alpha \ln {\frac {F_{0}}{K}}}{\ln {\frac {{\sqrt {1-2\rho z+z^{2}}}+z-\rho }{1-\rho }}}}$

$I^{1}={\frac {2\gamma _{2}-\gamma _{1}^{2}+1/F_{\text{mid}}^{2}}{24}}\;\left({\frac {\sigma _{0}C(F_{\text{mid}})}{\alpha }}\right)^{2}+{\frac {\rho \gamma _{1}}{4}}\;{\frac {\sigma _{0}C(F_{\text{mid}})}{\alpha }}+{\frac {2-3\rho ^{2}}{24}}$

где $F_{\text{mid}}$ некоторое среднее значение между $F_{0}$ and $K$ (обычно выбирается как среднее геометрическое ${\sqrt {F_{0}K}}$ или арифметическое среднее $\left(F_{0}+K\right)/2$).

$z={\frac {\alpha }{\sigma _{0}}}\;\int _{K}^{F_{0}}{\frac {dx}{C(x)}},\;\gamma _{1}={\frac {C'(F_{\text{mid}})}{C(F_{\text{mid}})}},\;\gamma _{2}={\frac {C''(F_{\text{mid}})}{C(F_{\text{mid}})}}$

Для классического случая $C\left(F\right)=F^{\beta }$

$\gamma _{1}={\frac {\beta }{F_{\text{mid}}}},\;\gamma _{2}=-{\frac {\beta (1-\beta )}{F_{\text{mid}}^{2}}}\;,z={\frac {\alpha }{\sigma _{0}}}{\frac {F_{0}^{1-\beta }-K^{1-\beta }}{1-\beta }}$

Поэтому формулу для этого случая можно записать следующим образом:

$I^{1}\varepsilon =\left[{\frac {(\beta -1)^{2}\sigma _{0}^{2}}{24F_{mid}^{2}}}+{\frac {\rho \alpha \sigma _{0}\beta }{4F_{mid}}}+{\frac {2-3\rho ^{2}}{24}}{\alpha }^{2}\right]\tau$

Для случая $\beta =1$ имеем $z={\frac {\alpha }{\sigma _{0}}}ln{\frac {F_{0}}{K}}$

Для случая $\alpha =0$ имеем $z={\frac {\sigma _{0}(1-\beta )ln{\frac {F_{0}}{K}}}{F_{0}^{1-\beta }-K^{1-\beta }}}$

Для случая ATM $(F_{0}=K)$ имеем $I^{0}=\sigma _{0}K^{1-\beta }$

Формула вмененной волатильности Башелье (нормальной, абсолютной)

$\sigma _{\text{impl}}^{\text{n}}=\alpha \;{\frac {F_{0}-K}{D(\zeta )}}\;\left\{1+\left[{\frac {2\gamma _{2}-\gamma _{1}^{2}}{24}}\;\left({\frac {\sigma _{0}C(F_{\text{mid}})}{\alpha }}\right)^{2}+{\frac {\rho \gamma _{1}}{4}}\;{\frac {\sigma _{0}C(F_{\text{mid}})}{\alpha }}+{\frac {2-3\rho ^{2}}{24}}\right]\varepsilon \right\}.$