Корректно поставленная задача

Корректно поставленная задача в математике — прикладная задача, математическое решение которой существует, единственно и устойчиво. Происходит от определения, данного Жаком Адамаром, согласно которому математические модели физических явлений должны иметь следующие свойства:

1. Решение существует.
2. Решение единственно.
3. Решение непрерывно зависит от данных в некоторой разумной топологии.

Некорректно поставленная задача — задача, не обладающая каким-либо из свойств корректно поставленной задачи.

Примерами типичных корректно поставленных задач являются задача Дирихле для уравнения Лапласа и уравнение диффузии с заданными начальными условиями. Они могут рассматриваться как «естественные» задачи — в том смысле, что существуют физические процессы, описываемые решениями данных задач. С другой стороны, обратная задача для уравнения диффузии — нахождение предыдущего распределения температуры по конечным данным — не является корректно поставленной, потому как её решение очень чувствительно к изменениям конечных данных.

Некорректно поставленными весьма часто оказываются обратные задачи. Подобные непрерывные задачи часто приходится дискретизировать, чтобы получить численное решение. Несмотря на то, что с точки зрения функционального анализа такие задачи обычно являются непрерывными, они могут быть подвержены неустойчивости численного решения при вычислениях с конечной точностью или при ошибках в данных. Некорректные задачи могут возникать при обработке геофизических, геологических, астрономических наблюдений, при решении проблем оптимального управления и планирования.

Даже если задача является корректно поставленной, она всё ещё может быть плохо обусловленной, то есть небольшая ошибка в начальных данных способна привести к много бо́льшим ошибкам в решениях. Плохо обусловленные задачи отличаются больши́м числом обусловленности.

Если задача корректно поставлена, то имеется неплохой шанс её численного решения с использованием устойчивого алгоритма. Если же задача поставлена некорректно, то её постановку нужно изменить; обычно для этого вводятся некоторые дополнительные предположения (такие, как предположение о гладкости решения). Данная процедура называется регуляризацией, причём наиболее широко используется регуляризация Тихонова, применимая к линейным некорректно поставленным задачам.

Литература

• Hadamard, Jacques. Sur les problèmes aux dérivées partielles et leur signification physique (фр.). — Princeton University Bulletin. — 1902. — P. 49—52.
• McGraw-Hill Dictionary of Scientific and Technical Terms (англ.) / Parker, Sybil B.. — 4th. — New York: McGraw-Hill Education, 1989. — ISBN 0070452709.
• Tikhonov, A. N.; Arsenin, V. Y. Solutions of Ill-Posed Problems (неопр.). — New York: Winston, 1977. — ISBN 0470991240.
• Лаврентьев М. М., Романов В. Г., Шишатский С. П. Некорректные задачи математической физики и анализа. — М.: Наука, 1980.
• Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. — М.: Наука, 1974.
• Иванов В. К., Васин В. В., Танана В. П. Теория линейных некорректных задач и её приложения. — М.: Наука, 1978.
• Тихонов А. Н., Леонов А. С., Ягола А. Г. Нелинейные некорректные задачи. — М.: Наука, 1995. — ISBN 5-02-014582-3.