Неравенство Богомолова — Миаоки — Яу

Неравенство Богомолова — Миаоки — Яу — это неравенство

$c_{1}^{2}\leqslant 3c_{2}$

между числами Чжэня компактных комплексных поверхностей общего вида. Главный интерес в этом неравенстве — возможность ограничить возможные топологические типы рассматриваемого вещественного 4-многообразия. Неравенство доказали независимо Яу и Миаоки, после того как Ван де Вен и Фёдор Богомоловдоказали более слабые версии неравенства с константами 8 и 4 вместо 3.

Борель и Хирцебрух показали, что неравенство нельзя улучшить, найдя бесконечно много случаев, в которых выполняется равенство. Неравенство неверно для положительных характеристик — Ленг и Истон привели примеры поверхностей с характеристикой p, такие как обобщённая поверхность Рейно, для которых неравенство не выполняется.

Формулировка неравенства

Обычно неравенство Богомолова — Миаоки — Яу формулируется следующим образом.

Пусть X — компактная комплексная поверхность общего типа, и пусть $c_{1}=c_{1}(X)$ и $c_{2}=c_{2}(X)$ — первый и второй класс Чжэня комплексного касательного расслоения поверхности. Тогда

$c_{1}^{2}\leqslant 3c_{2}.$

Более того, если выполняется равенство, то X является фактором шара. Последнее утверждение является следствием подхода Яу в дифференциальной геометрии, который основывается на его разрешении гипотезы Калаби.

Поскольку $c_{2}(X)=e(X)$ является топологической характеристикой Эйлера, а по теореме о сигнатуре Тома — Хирцебруха $c_{1}^{2}(X)=2e(X)+3\sigma (X)$, где $\sigma (X)$ является сигнатурой формы пересечений на второй когомологии, неравенство Богомолова — Миаоки — Яу можно переписать как ограничение на топологический тип поверхности общего вида:

$\sigma (X)\leqslant {\frac {1}{3}}e(X),$

и более того, если $\sigma (X)=(1/3)e(X)$, универсальное покрытие является шаром.

Вместе с неравенством Нётера неравенство Богомолова — Миаоки — Яу устанавливает границы при поиске комплексных поверхностей. Рассмотрение топологических типов, которые могут быть реализованы как комплексные поверхности, называется географией поверхностей. См. статью Поверхности общего типа.

Поверхности с c₁² = 3c₂

Пусть X — поверхность общего типа с $c_{1}^{2}=3c_{2}$, так что в неравенстве Богомолова — Миаоки — Яу имеет место равенство. Для таких поверхностей Яу доказал, что X изоморфно фактору единичного шара в ${\mathbb {C} }^{2}$ по бесконечной дискретной группе. Примеры поверхностей, для которых выполняется равенство, найти трудно. Борель показал, что существует бесконечно много значений $c_{1}^{2}=3c_{2}$, для которых поверхности существуют. Мамфорд нашёл ложную проективная плоскость с $c_{1}^{2}=3c_{2}=9$, которая имеет минимальное возможное значение, поскольку $c_{1}^{2}+c_{2}$ всегда делится на 12, а Прасад и Йен, а также Картрайт и Стегер показали, что существует ровно 50 ложных проективных поверхностей.

Бартель, Хирцебрух и Хёфер дали метод поиска примеров, который, в частности, даёт поверхности X с $c_{1}^{2}=3c_{2}=3^{2}5^{4}$. Исида нашёл фактор такой поверхности с $c_{1}^{2}=3c_{2}=45$ и если взять неразветвлённые покрытия этого фактора, получим примеры с $c_{1}^{2}=3c_{2}=45$ для любого положительного k. Картрайт и Стегер нашли примеры с $c_{1}^{2}=3c_{2}=9n$ для любого положительного целого n.