Компактное пространство

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Компа́ктное простра́нство — определённый тип топологических пространств, включающий

В топологии компактные пространства по своим свойствам напоминают конечные множества в теории множеств.

Определение[править | править исходный текст]

Компа́ктное простра́нство — это топологическое пространство, в любом покрытии которого открытыми множествами найдётся конечное подпокрытие.

Связанные определения[править | править исходный текст]

  • Подмножество топологического пространства, являющееся в индуцированной топологии компактным пространством, называется компактным множеством.
  • Множество называется относительно компактным или предкомпактным, если его замыкание компактно.
  • Пространство называется секвенциально компактным, если из любой последовательности в нём можно выделить сходящуюся подпоследовательность.
  • Локально компактное пространство — топологическое пространство, в котором любая точка имеет окрестность, замыкание которой компактно.
  • Ограниченно компактное пространствометрическое пространство, в котором все замкнутые шары компактны.
  • Термин компакт иногда используется для метризуемого компактного пространства, но иногда просто как синоним к термину «компактное пространство».

Свойства[править | править исходный текст]

Примеры компактных множеств[править | править исходный текст]

История[править | править исходный текст]

Бикомпактное пространство — термин, введённый П. С. Александровым как усиление введённого М. Фреше понятия компактного пространства: топологическое пространство компактно — в первоначальном смысле слова — если в каждом счётном открытом покрытии этого пространства содержится его конечное подпокрытие. Однако дальнейшее развитие математики показало, что понятие бикомпактности настолько важнее первоначального понятия компактности, что в настоящее время под компактностью понимают именно бикомпактность, а компактные в старом смысле пространства называют счётно-компактными. Оба понятия равносильны в применении к метрическим пространствам.

Литература[править | править исходный текст]