Ним (игра)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Ним — математическая игра, в которой два игрока по очереди берут предметы, разложенные на несколько кучек. За один ход может быть взято любое количество предметов (большее нуля) из одной кучки. Выигрывает игрок, взявший последний предмет.

В классическом варианте игры число кучек равняется трём.

Ним — конечная игра с полной информацией.

Классическая игра Ним имеет фундаментальное значение для теоремы Шпрага-Гранди. Эта теорема утверждает, что обычная игра в сумму беспристрастных игр эквивалентна обычной игре в Ним. При этом каждой беспристрастной игре-слагаемому соответствует кучка Ним, число предметов в которой равно значению функции Шпрага-Гранди для игровой позиции данной игры.

История игры[править | править вики-текст]

Игра Ним попала в Европу в XVI веке из Китая. Имя «ним» было дано игре американским математиком Чарльзом Бутоном (англ. Charles Bouton), описавшим в 1901 году выигрышную стратегию игры.

Существует несколько вариантов происхождения названия игры:

  • от немецкого глагола Nimm или старо-английского глагола Nim, имеющих значение «брать»;
  • от английского глагола WIN («побеждать»), переворачиванием слова;

Стратегия игры[править | править вики-текст]

В общем случае рассматривается кучек предметов с предметами. Игроки ходят по очереди. Ход заключается в том, что игрок берёт из кучки предметов.

Каждой позиции игры ставится в соответствие ним-сумма этой позиции — результат сложения размеров всех кучек в двоичной системе счисления без учёта переноса разрядов, то есть сложение двоичных разрядов чисел в поле вычетов по модулю 2:

Выигрышная стратегия состоит в том, чтобы оставлять после своего хода позицию с ним-суммой, равной нулю. Она основана на том, что из любой позиции с ним-суммой, не равной нулю, можно одним ходом получить позицию с нулевой ним-суммой, а из позиции с нулевой ним-суммой любой ход ведёт в позицию с ним-суммой, отличной от нуля.

Пример: предположим, в игре три кучки, в них соответственно 2 (0010 в бинарном представлении), 8 (1000) и 13 (1101) предметов. Ним-сумма этой позиции — 7 (0111). Следовательно, выигрышная стратегия состоит в том, чтобы взять 3 предмета из третьей кучки — там останется 10 (1010) предметов, и ним-сумма позиции станет 0 (0000). Предположим, после вашего хода противник забирает все предметы из первой кучки — выигрышная стратегия будет заключаться в том, чтобы забрать 2 предмета из третьей кучки. В таком случае после вашего хода в кучках будет соответственно 0 (0000), 8 (1000) и 8 (1000) предметов, ним-сумма по прежнему будет равняться 0.

Варианты игры[править | править вики-текст]

Шоколадка[править | править вики-текст]

Есть шоколадка m×n, одна долька «отравленная». Игрок своим ходом разламывает шоколадку по линии и съедает неотравленную часть. Проигрывает тот, кому останется отравленная долька.

Игра эквивалентна ниму с четырьмя кучками.

Мизер[править | править вики-текст]

В этом варианте игрок, взявший последний объект, проигрывает.

Выигрышная стратегия совпадает с выигрышной стратегией обычной игры до того момента, когда в результате хода игрока на столе должно остаться некоторое количество кучек с единственным предметом в каждой из них. В случае мизера игрок должен оставить нечётное количество кучек, тогда как выигрышная стратегия обычной игры требует оставить чётное количество кучек, чтобы ним-сумма равнялась нулю.

Это можно сформулировать так: если осталась ровно одна кучка, содержащая более одного предмета, то забрать из неё все предметы или все кроме одного, чтобы осталось нечетное количество единичных кучек; иначе придерживаться выигрышной стратегии обычной игры.

Мультиним[править | править вики-текст]

Более общий случай игры Ним был предложен Элиакимом Муром. В игре игрокам разрешается брать предметы из максимум кучек. Легко видеть, что обычная игра ним является .

Решение такой задачи удивительно просто. Запишем размеры каждой кучки в двоичной системе счисления. Затем просуммируем эти числа в -ичной системе счисления без переносов разрядов. Если получилось число 0, то текущая позиция проигрышная, иначе — выигрышная (и из неё есть ход в позицию с нулевой величиной).

Форкед-ним[править | править вики-текст]

Еще один вариант игры был предложен Матвеем Бернштейном. В нем можно произвольно разбивать любую кучку на две произвольные кучки вместо хода. Во всем остальном игра ведется по обычным правилам.

В кино и телевидении[править | править вики-текст]

  • Эта игра служит метафорой происходящего в фильме «В прошлом году в Мариенбаде».[1]
  • В известном телешоу «Форт Боярд» игроки на некоторых этапах шоу могут играть в эту игру с Мэтрами Теней: из 21 палочек игрок может взять одну, две или три. Тот, кто возьмёт последнюю палочку, проигрывает.

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Oliver Knill. Math in Movies: Last year in Marienbad (англ.). Math in Movies. Department of Mathematics Harvard University. Проверено 22 июня 2009. Архивировано из первоисточника 21 февраля 2012.

Литература[править | править вики-текст]