Обобщённый метод моментов

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
(перенаправлено с «Обобщенный метод моментов»)
Перейти к навигации Перейти к поиску

Обобщённый ме́тод моме́нтов (ОММ; англ. GMM — Generalized Method of Moments) — метод, применяемый в математической статистике и эконометрике для оценки неизвестных параметров распределений и эконометрических моделей, являющийся обобщением классического метода моментов. Метод был предложен Хансеном в 1982 году. В отличие от классического метода моментов количество ограничений может быть больше количества оцениваемых параметров.

Сущность метода[править | править код]

Пусть распределение случайного вектора x зависит от некоторого вектора неизвестных параметров b (количество параметров — k). Пусть также имеются некоторые функции g(x, b) (их количество q не меньше числа оцениваемых параметров), называемые моментными функциями (или просто моментами), для которых из теоретических соображений предполагается, что

Базовая идея метода моментов заключается в использовании в моментных условиях вместо математических ожиданий их выборочные аналоги — выборочные средние

которые согласно закону больших чисел при достаточно слабых условиях должны асимптотически сходится к математическим ожиданиям. Поскольку количество условий на моменты в общем случае больше количества оцениваемых параметров, то однозначного решения эта система ограничений не имеет.

Обобщённым методом моментов (ОММ) называется оценка минимизирующая положительно определённую квадратичную форму от выборочных условий на моменты, в которых вместо математических ожиданий используются выборочные средние:

где W — некоторая симметрическая положительно определённая матрица.

Весовая матрица может быть произвольной (с учётом положительной определённости), однако доказано,[источник не указан 2771 день] что наиболее эффективными являются GMM-оценки с весовой матрицей, равной обратной ковариационной матрице моментных функций . Это так называемый эффективный GMM.

Однако, поскольку на практике эта ковариационная матрица неизвестна, то применяют двухшаговую процедуру (двухшаговый GMM — Хансен, 1982 г.):

Шаг 1. Оцениваются параметры модели с помощью GMM с единичной весовой матрицей.

Шаг 2. По выборочным данным и найденным на первом шаге значениям параметров оценивают ковариационную матрицу моментных функций и используют полученную оценку в эффективном GMM.

Эту двухшаговую процедуру можно продолжить (итеративный GMM): используя оценки параметров модели на втором шаге ковариационная матрица моментов оценивается снова и повторно применяется эффективный GMM и т. д. итеративно до достижения требуемой точности.

Также возможен подход к численной минимизации целевой функции по неизвестным параметрам . Тем самым одновременно оцениваются и параметры и ковариационная матрица. Это так называемый непрерывно обновляемый (Continuously Updated) GMM (Хансен, Хитон, Ярон, 1996 год).

Свойства метода[править | править код]

Оценки обобщённого метода моментов при достаточно слабых условиях являются состоятельными, асимптотически нормальными, а оценки эффективного GMM являются также асимптотически эффективными. Можно показать, что

В общем случае

где G-математическое ожидание матрицы первых производных g по параметрам. В случае эффективного GMM формула ковариационной матрицы существенно упрощается:

J-тест[править | править код]

При использовании GMM важным тестом является тест на сверхидентифицирующие ограничения (J-тест). Нулевая гипотеза заключается в том, что условия (ограничения) на моменты имеют место (то есть предположения модели верны). Альтернативная — что они неверны.

Статистика теста равна значению целевой функции GMM, умноженному на количество наблюдений. При нулевой гипотезе

Таким образом, если значения статистики больше критического значения распределения при заданном уровне значимости, то ограничения отвергаются (модель неадекватна), в противном случае модель признается адекватной.

См. также[править | править код]

Литература[править | править код]

  • Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. Эконометрика. Начальный курс. — М.: Дело, 2007. — 504 с. — ISBN 978-5-7749-0473-0.