Ковариационная матрица

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Ковариацио́нная ма́трица (или ма́трица ковариа́ций) в теории вероятностей — это матрица, составленная из попарных ковариаций элементов одного или двух случайных векторов.

Ковариационная матрица случайного вектора — квадратная симметрическая матрица, на диагонали которой располагаются дисперсии компонент вектора, а внедиагональные элементы — ковариациями между компонентами.

Определения[править | править исходный текст]

  • Пусть \mathbf{X}:\Omega \to \mathbb{R}^n, \mathbf{Y}:\Omega \to \mathbb{R}^m — два случайных вектора размерности n и m соответственно. Пусть также случайные величины X_i,Y_j,\; i=1,\ldots, n,\; j = 1,\ldots, m имеют конечный второй момент, то есть X_i,Y_j \in L^2. Тогда матрицей ковариации векторов \mathbf{X},\mathbf{Y} называется
\Sigma = \mathrm{cov}(\mathbf{X},\mathbf{Y}) = \mathbb{E}\left[(\mathbf{X} - \mathbb{E}\mathbf{X})(\mathbf{Y} - \mathbb{E}\mathbf{Y})^{\top}\right],

то есть

\Sigma = (\sigma_{ij}),

где

\sigma_{ij} = \mathrm{cov}(X_i,Y_j) \equiv \mathbb{E}\left[(X_i - \mathbb{E}X_i) (Y_j - \mathbb{E}Y_j)\right],\; i=1,\ldots, n,\; j = 1,\ldots, m.

Свойства матриц ковариации[править | править исходный текст]

  • Сокращённая формула для вычисления матрицы ковариации:
\mathrm{cov}(\mathbf{X}) = \mathbb{E}\left[\mathbf{X} \mathbf{X}^{\top}\right] - \mathbb{E}[\mathbf{X}] \cdot \mathbb{E}\left[\mathbf{X}^{\top}\right].
\mathrm{cov}(\mathbf{X}) \ge 0.
  • Смена масштаба:
\mathrm{cov}\left(\mathbf{a}^{\top} \mathbf{X}\right) = \mathbf{a}^{\top} \mathrm{cov}(\mathbf{X}) \mathbf{a},\; \forall \mathbf{a} \in \mathbb{R}^n.
  • Если случайные векторы \mathbf{X} и \mathbf{Y} нескоррелированы (\mathrm{cov}(\mathbf{X},\mathbf{Y}) =  \mathbf{0}), то
\mathrm{cov}(\mathbf{X} + \mathbf{Y}) =  \mathrm{cov}(\mathbf{X}) + \mathrm{cov}(\mathbf{Y}).
\mathrm{cov}\left(\mathbf{A} \mathbf{X} + \mathbf{b}\right) = \mathbf{A} \mathrm{cov}(\mathbf{X}) \mathbf{A}^{\top},

где \mathbf{A} — произвольная матрица размера n \times n, а \mathbf{b}\in \mathbb{R}^n.

  • Перестановка аргументов:
\mathrm{cov}(\mathbf{X},\mathbf{Y}) = \mathrm{cov}(\mathbf{Y},\mathbf{X})^{\top}
  • Матрица ковариации аддитивна по каждому аргументу:
\mathrm{cov}(\mathbf{X}_1 + \mathbf{X}_2,\mathbf{Y}) = \mathrm{cov}(\mathbf{X}_1,\mathbf{Y}) + \mathrm{cov}(\mathbf{X}_2,\mathbf{Y}),
\mathrm{cov}(\mathbf{X},\mathbf{Y}_1 + \mathbf{Y}_2) = \mathrm{cov}(\mathbf{X},\mathbf{Y}_1) + \mathrm{cov}(\mathbf{X},\mathbf{Y}_2).
  • Если \mathbf{X} и \mathbf{Y} независимы, то
\mathrm{cov}(\mathbf{X},\mathbf{Y}) =  \mathbf{0}.

Примечания[править | править исходный текст]

  1. 1 2 А. Н. Ширяев. Глава 2, §6. Случайные величины II // Вероятность. — 3-е изд. — Cambridge, New York,...: МЦНМО, 2004. — Т. 1. — С. 301. — 520 с.