Метод максимального правдоподобия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Ме́тод максима́льного правдоподо́бия или метод наибольшего правдоподобия (ММП, ML, MLE — англ. maximum likelihood estimation) в математической статистике — это метод оценивания неизвестного параметра путём максимизации функции правдоподобия[1]. Основан на предположении о том, что вся информация о статистической выборке содержится в функции правдоподобия. Метод максимального правдоподобия был проанализирован, рекомендован и значительно популяризирован Р. Фишером между 1912 и 1922 годами (хотя ранее он был использован Гауссом, Лапласом и другими).

Оценка максимального правдоподобия является популярным статистическим методом, который используется для создания статистической модели на основе данных, и обеспечения оценки параметров модели.

Метод максимального правдоподобия соответствует многим известным методам оценки в области статистики. Например, вы интересуетесь таким антропометрическим параметром, как рост жителей России. Предположим, у вас имеются данные о росте некоторого количества людей, а не всего населения. Кроме того предполагается, что рост является нормально распределённой величиной с неизвестной дисперсией и средним значением. Среднее значение и дисперсия роста в выборке являются максимально правдоподобными к среднему значению и дисперсии всего населения.

Для фиксированного набора данных и базовой вероятностной модели, используя метод максимального правдоподобия, мы получим значения параметров модели, которые делают данные «более близкими» к реальным. Оценка максимального правдоподобия даёт уникальный и простой способ определить решения в случае нормального распределения.

Метод оценки максимального правдоподобия применяется для широкого круга статистических моделей, в том числе:

  • линейные модели и обобщённые линейные модели;
  • факторный анализ;
  • моделирование структурных уравнений;
  • многие ситуации, в рамках проверки гипотезы и доверительного интервала формирования;
  • дискретные модели выбора.

Сущность метода[править | править вики-текст]

Пусть есть выборка из распределения , где  — неизвестные параметры. Пусть  — функция правдоподобия, где . Точечная оценка

называется оце́нкой максима́льного правдоподо́бия параметра . Таким образом оценка максимального правдоподобия — это такая оценка, которая максимизирует функцию правдоподобия при фиксированной реализации выборки.

Часто вместо функции правдоподобия используют логарифмическую функцию правдоподобия . Так как функция монотонно возрастает на всей области определения, максимум любой функции является максимумом функции , и наоборот. Таким образом,

,

Если функция правдоподобия дифференцируема, то необходимое условие экстремума — равенство нулю её градиента:

Достаточное условие экстремума может быть сформулировано как отрицательная определённость гессиана — матрицы вторых производных:

Важное значение для оценки свойств оценок метода максимального правдоподобия играет так называемая информационная матрица, равная по определению:

В оптимальной точке информационная матрица совпадает с математическим ожиданием гессиана, взятым со знаком минус:

Свойства[править | править вики-текст]

  • Оценки максимального правдоподобия, вообще говоря, могут быть смещёнными (см. примеры), но являются состоятельными, асимптотически эффективными и асимптотически нормальными оценками. Асимптотическая нормальность означает, что

где  — асимптотическая информационная матрица.

Асимптотическая эффективность означает, что асимптотическая ковариационная матрица является нижней границей для всех состоятельных асимптотически нормальных оценок.

  • Если  — оценка метода максимального правдоподобия, параметров , то является оценкой максимального правдоподобия для , где g — непрерывная функция (функциональная инвариантность). Таким образом, законы распределения данных можно параметризовать различным образом.

Примеры[править | править вики-текст]

Последнее равенство может быть переписано в виде:

где , откуда видно, что своего максимума функция правдоподобия достигает в точке . Таким образом

.

Такая оценка будет смещенной: , откуда

  • Пусть  — независимая выборка из нормального распределения с неизвестными средним и дисперсией. Построим оценку максимального правдоподобия для неизвестного вектора параметров . Логарифмическая функция правдоподобия принимает вид
.

Чтобы найти её максимум, приравняем к нулю частные производные:

откуда

 — выборочное среднее, а
 — выборочная дисперсия.

Применение метода[2][править | править вики-текст]

Обработка эксперимента[править | править вики-текст]

Предположим, что мы измеряем некоторую величину . Сделав одно измерение, получили её значение с ошибкой : . Запишем плотность вероятности того, что величина a примет значение :

.

Теперь предположим, что мы провели несколько таких измерений и получили . Вероятность того, что величина a примет значения , будет:

.

Эта функция называется функцией правдоподобия. Наиболее вероятное значение измеряемой величины определяется по максимуму функции правдоподобия. Более удобной является логарифмическая функция правдоподобия:

.

Продифференцируем логарифмическую функцию правдоподобия по :

.

Приравняем к и получим некоторое значение :

.

Крамер сформулировал следующую теорему:

Теорема: Не существует другого метода обработки результатов эксперимента, который дал бы лучшее приближение к истине, чем метод максимального правдоподобия.

Ошибки измерений.[править | править вики-текст]

Предположим, что мы провели серию измерений и получили серию значений , естественно записать, что это распределение будет иметь гауссовский вид:

.

Запишем логарифмическую функцию правдоподобия:.

Возьмем первую производную:

.

Если , то . Теперь возьмем вторую производную:

, откуда

.

Это называется первой магической формулой[источник не указан 33 дня].

Условный метод максимального правдоподобия[править | править вики-текст]

Условный метод максимального правдоподобия (Conditional ML) используется в регрессионных моделях. Суть метода заключается в том, что используется не полное совместное распределение всех переменных (зависимой и регрессоров), а только условное распределение зависимой переменной по факторам, то есть фактически распределение случайных ошибок регрессионной модели. Полная функция правдоподобия есть произведение «условной функции правдоподобия» и плотности распределения факторов. Условный ММП эквивалентен полному варианту ММП в том случае, когда распределение факторов никак не зависит от оцениваемых параметров. Это условие часто нарушается в моделях временных рядов, например в авторегрессионной модели. В данном случае, регрессорами являются прошлые значения зависимой переменной, а значит их значения также подчиняются той же AR-модели, то есть распределение регрессоров зависит от оцениваемых параметров. В таких случаях результаты применения условного и полного метода максимального правдоподобия будут различаться.

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Фишер — 1912 г. Математический энциклопедический словарь, М.: Советская энциклопедия, 1988.
  2. А.П. Онучин. Экспериментальные методы ядерной физики. — Новосибирск: Новосибирский государственный технический университет, 2010. — С. 297 - 303. — 336 с. — ISBN 978-5-7782-1232-9.

Литература[править | править вики-текст]

  • Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. Эконометрика. Начальный курс. — М.: Дело, 2007. — 504 с. — ISBN 978-5-7749-0473-0.
  • Остапенко Р. И. Основы структурного моделирования в психологии и педагогике: учебно-методическое пособие для студентов психолого-педагогического факультета. — Воронеж.: ВГПУ, 2012. — 116 с. — ISBN 978-5-88519-886-8.
  • Никулин М. С. Отношения правдоподобия критерий // Математическая энциклопедия / Виноградов И. М. (гл. ред.). — М.: Советская энциклопедия, 1984. — Т. 4. — С. 151. — 1216 с.