Обозначения Конвея

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Обозначе́ния Ко́нвея со стре́лками — метод обозначения очень больших целых чисел, предложенный Джоном Конвеем.

По Конвею, большие целые числа представляются последовательностями из n натуральных чисел, соединёнными горизонтальными стрелками (например, 2→3→4→5→6) — цепочками Конвея.

Определение[править | править исходный текст]

Цепочка Конвея определяется следующим образом:

  • Любое натуральное число представляет собой цепочку единичной длины.
  • Цепочка длины n, за которой следует стрелка «→» и натуральное число, вместе составляют цепочку длины n+1.

Любая цепочка Конвея представляет некоторое целое число. Две цепочки называются равными, если они представляют равные числа.

Общая схема вычисления[править | править исходный текст]

Расчёт значения цепочки производится согласно следующим правилам:

  1. p=p (цепочка p представляет число p);
  2. p \to q=p^q (цепочка p \to q представляет возведение в степень);
  3. X \to p \to 1 = X \to p;
  4. X \to 1 \to q = X;
  5. X \to (p + 1) \to (q + 1) = X \to (X \to p \to (q+1)) \to q.

Здесь:

  • p,q — некоторые натуральные числа;
  • X — в общем случае, некоторая другая цепочка Конвея (подцепочка).

Следует отметить, что цепочки в скобках не входят в общую цепочку и вычисляются отдельно. То есть, в общем случае:

a \to b \to c \neq (a \to b) \to c \neq a \to (b \to c)

Частные случаи[править | править исходный текст]

Обозначения Конвея связаны с обозначениями Кнута следующим образом:

a \to b \to k = a\uparrow^k b.

Возведение в степень в обозначениях Конвея:


  \begin{matrix}
   a\to b= a\to b\to 1= a^b = & \underbrace{a\times a\times\dots\times a}\\
   & b\,\mbox{ PA3 }
  \end{matrix}

Тетрация в обозначениях Конвея:


  \begin{matrix}
   a\to b\to 2= {\ ^{b}a} = & \underbrace{a^{a^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^a}}}}}}\\
   & b\,\mbox{ PA3 }
  \end{matrix}

Пентация в обозначениях Конвея:


  \begin{matrix}
   a\to b\to 3 = & \underbrace{{}^{^{^{^{^a}}}}{}^{^{^{^{^.}}}}{}^{^{^{^.}}}{}^{^{^.}}{}^{a}a}\\
    & b\,\mbox{ PA3 }
  \end{matrix}

См. также[править | править исходный текст]