Обсуждение:Ряд Штурма

Сообщение об ошибке

Перенесено со страницы ВП:Сообщения об ошибках#Ряд Штурма.

В определении ряда Штурма допущена ошибка: не сказано, что f_0 = f.

Аргументы в пользу того, что это надо дописать:

1) это есть в английской википедии

2) без этого теорема становится просто не верной.

Контрпример:

f(x) = x-1

f_0 (x) = (x-1)*(x-2) f_1 (x) = 2x-3 f_2 (x) = 1;

тогда количество корней f на прямой очевидно равно одному, а разность функции W равна двум.

Автор сообщения: 1518 193.194.100.216 21:32, 11 июля 2014 (UTC)

• Действительно, ряд из Вашего примера даёт $W(0)-W(2)=2$, но теорема Штурма ограничивает применение условием $f_{0}(a)f_{0}(b)\neq 0$ для применяемого интервала $[a,b]$, что в статье написано. То есть, ряд из Вашего сообщения — это ряд Штурма для $f(x)=x-1$, но теорема Штурма на $[0,2]$ на нём не действует, при прочих условиях всё в порядке ($W(0)-W(1.2)=1,W(0)-W(3)=1$). В Математической энциклопедии ([1]) условие $f_{0}(a)f_{0}(b)\neq 0$ уже включено в определение ряда, но это уже момент, скорее, дидактический, bezik 09:10, 12 июля 2014 (UTC)

Я тут чуть выше писал об ошибке в этой статье, но это обсуждение, на мой взгляд, было несправедливо закрыто. Мне написали, что мой контрпример на самом деле таковым не является, так как W(0) - w(3) = 1

но это же не так: W(0)=2 W(3)=0

хотя, то условие, которое я предлагал дописать выше (f_0 = f) слишком сильное. Судя по всему, достаточно написать, что rad(f_0) = rad(f) (то есть множества различных корней для f и для f_0 совпадают)

Да, я посмотрел Вашу ссылку на Математическую энциклопедию. Да, там написано то же, что и в статье. На мой взгляд, там тоже не верно

Автор сообщения: 1518 92.241.14.83 09:22, 12 июля 2014 (UTC)

• К обсуждению--Draa kul ^talk 11:45, 12 июля 2014 (UTC)
• Да, Вы правы, а я ошибся: действительно $W(3)=0$. И вынужден согласиться с Вашими доводами о том, что системы корней $f$ и $f_{0}$ не совпадают, то предсказать перемены знаков с тем же успехом не получится. Можно было бы внести в статью, но хорошо бы найти источники, где такое ограничение было бы явно прописано. Может, есть какое-то и более слабое условие? Или просто запишем (как в англовики) $f_{0}:=f$, налагая ещё и условие об отсутствии кратных корней? bezik 16:10, 12 июля 2014 (UTC)

Ну, если написать $f_{0}:=f$ , то будет конечно, верно, но на мой взгляд, не достаточно общо.

Вы случайно не помните доказательство этой теоремы?

Просто все доказательства, что я видел (правда во всех формулировках, что я видел было $f_{0}:=f$) проводятся одним и тем же способом: мол, идем от $a$ к $b$. Если проходим, через корень $f_{0}$, то $W$ падает на единицу. Если проходим через корень $f_{k}$, то $W$ не меняется. В остальных случаях $W$ также не меняется. Вывод: $W(a)-W(b)$ равно количеству РАЗЛИЧНЫХ корней $f_{0}$.

Если следовать логике этого доказательства, то видно, что условия $rad(f_{0})=rad(f)$ достаточно и на первый взгляд ослабить его нельзя, не изменив доказательство.

Не могу найти источников. Везде $f_{0}:=f$ ... Но может можно и без них обойтись? Я вроде обосновал свою формулировку.

А что с Математической энциклопедией? Может им тоже как-нибудь намекнуть?

1518  — Эта реплика добавлена участником 193.194.100.216 (о · в) 2014-07-12 19:39:13‎

• Записал так, как Вы предложили, вроде убедительно. Доказательств не помню, я-то вспомнил о существовании такого утверждения лишь после Вашего сообщения об ошибке. Насчёт Математической энциклопедии — её издали в 1977—1985 годах, а на academic.ru её просто выложили (и не факт, что согласия издательства). А ещё её даже перевели и многократно переиздали, и обсуждаемую статью сохранили и немного прокомментировали: [2], собственно, там на странице обсуждения и можно намекнуть, bezik 20:30, 12 июля 2014 (UTC)

Спасибо. 1518