Соприкасающаяся кривая

Кривая C содержит точку P, в которой радиус кривизны равен r. В точке P к кривой проведена касательная. Соприкасающаяся окружность касается кривой C в точке P

Соприкасающаяся кривая — в дифференциальной геометрии кривая, принадлежащая определённому семейству и имеющая наивысший возможный порядок касания с другой кривой. Другими словами, если F является семейством гладких кривых, C является гладкой кривой (не обязательно принадлежащей F), а p представляет точку на C, то соприкасающаяся кривая из F в точке p является такой кривой семейства F, что она проходит через точку p и имеет наибольшее возможное число производных в точке p, равных производным C.

Термин происходит от латинского слова "osculum" (поцелуй), поскольку в этом случае две кривые проходят более тесно друг к другу, чем при простом касании.

Примеры

Ниже приведён ряд примеров соприкасающаяся кривых различных порядков.

• Касательная к кривой C в точке p является соприкасающаяся кривой из семейства прямых. Касательная имеет общую с кривой C первую производную, то есть обладает касанием первого порядка.
• Соприкасающаяся окружность кривой C в точке p является соприкасающаяся кривой из семейства окружностей. Соприкасающаяся окружность обладает общими первой и второй производной (наклон и кривизна) с кривой C.
• Соприкасающаяся парабола кривой C в точке p является оскулирующей кривой из семейства парабол и имеет касание третьего порядка с данной кривой C.
• Соприкасающаяся коническое сечение кривой C в точке p является соприкасающейся кривой из семейства конических сечений и имеет касание четвёртого порядка с данной кривой C.

Обобщения

Понятие соприкасающаяся кривой можно обобщить на пространства более высоких размерностей и для объектов, не являющихся кривыми в таких пространствах. Например, соприкасающаяся плоскость для пространственной кривой представляет собой плоскость, обладающую касанием второго порядка с данной кривой. В общем случае это наиболее высокий порядок.