Псевдодополнение

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Псевдодополнение в теории решёток — бинарная операция в решётке, определяемая для элементов решётки и как наибольший элемент такой, что ; обозначение — , прочтение — «псевдодополнение относительно ». Импликативная решётка (или брауэрова решётка) — решётка, в которой для каждых двух элементов существует псевдодополнение.

Аксиоматически, импликативная решётка получается присоединением к аксиомам решётки следующих соотношений:

,
.

Для импликативных решёток с нулём вводится также унарная операция (абсолютного) псевдодополнения: ; в этом случае, бинарное псевдодополнение называется относительным псевдодополнением.

Импликативные решётки образуют многообразие. Важнейшие специальные классы импликативных решёток — алгебры Гейтинга и булевы алгебры, используемые в качестве моделей интуиционистского и классического исчисления высказываний соответственно.

Импликативные решётки являются полугруппами с делением, в которых левому и правому делению и соответствует одна операция .

Всякая импликативная решётка дистрибутивна; каждая конечная дистрибутивная решётка — импликативна.

Во всякой импликативной решётке имеется максимальный элемент (), обычно обозначаемый как 1; минимальный элемент в общем случае может не существовать, если он существует — то импликативная решётка образует алгебру Гейтинга.

Для всех элементов , и всякой импликативной решётки верны следующие утверждения:

;
;
;
;
;
;
;
.

Эти утверждения используются при доказательстве того, что алгебры Гейтинга являются моделями интуиционистского исчисления высказываний.

Подмножество импликативной решётки является её фильтром тогда и только тогда, когда и ; если  — фильтр, то факторрешётка импликативна, а класс  — её максимальный элемент.

Литература

[править | править код]
  • В. Е. Плиско, В. Х. Хаханян. Интуиционистская логика. — М.: Изд-во при мех.-мат. ф-те МГУ, 2009. — 159 с.