Параллельность плоскостей

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Классическое определение[править | править вики-текст]

Две плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек. (Иногда совпадающие плоскости тоже считают параллельными, что упрощает формулировку некоторых теорем)

Свойства

  • Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны
  • Через точку вне данной плоскости можно провести плоскость, параллельную данной, и притом только одну
  • Отрезки параллельных прямых, ограниченные двумя параллельными плоскостями, равны
  • Два угла с соответственно параллельными и одинаково направленными сторонами равны и лежат в параллельных плоскостях

Признак

  • Если плоскость α параллельна каждой из двух пересекающихся прямых, лежащих в другой плоскости β, то эти плоскости параллельны

Аналитическое определение[править | править вики-текст]

Если плоскости

и

параллельны, то нормальные векторы и коллинеарны (и обратно). Поэтому условие

[1] есть необходимое и достаточное условие параллельности или совпадения плоскостей.

Пример 1[править | править вики-текст]

Плоскости и параллельны, так как

Пример 2[править | править вики-текст]

Плоскости и непараллельны, так как , а
Замечание. Если не только коэффициенты при координатах, но и свободные члены пропорциональны, то есть если
[2] то плоскости совпадают. Так уравнения и представляют одну и ту же плоскость.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. при . Если , то . Аналогично при или .
  2. при . Если , то . Аналогично при или .