Параллельные плоскости

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Определение[править | править код]

Классическое[править | править код]

Две плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек. (Иногда совпадающие плоскости тоже считают параллельными, что упрощает формулировку некоторых теорем).

Аналитическое[править | править код]

Если плоскости и параллельны, то нормальные векторы и коллинеарны (и обратно). Поэтому условие

[1] есть необходимое и достаточное условие параллельности или совпадения плоскостей.

Свойства[править | править код]

  • Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны;
  • Через точку вне данной плоскости можно провести плоскость, параллельную данной, и притом только одну;
  • Отрезки параллельных прямых, ограниченные двумя параллельными плоскостями, равны;
  • Два угла с соответственно параллельными и одинаково направленными сторонами равны и лежат в параллельных плоскостях.

Признак[править | править код]

  • Если плоскость α параллельна каждой из двух пересекающихся прямых, лежащих в другой плоскости β, то эти плоскости параллельны.

Примеры[править | править код]

  • Плоскости и параллельны, так как .
  • Плоскости и непараллельны, так как , а .

Замечание[править | править код]

Если не только коэффициенты при координатах, но и свободные члены пропорциональны, то есть если [2] то плоскости совпадают. Так уравнения и представляют одну и ту же плоскость.

Примечания[править | править код]

  1. при . Если , то . Аналогично при или .
  2. при . Если , то . Аналогично при или .