Параллельные плоскости

Классическое определение

Две плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек. (Иногда совпадающие плоскости тоже считают параллельными, что упрощает формулировку некоторых теорем)

Свойства

• Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны
• Через точку вне данной плоскости можно провести плоскость, параллельную данной, и притом только одну
• Отрезки параллельных прямых, ограниченные двумя параллельными плоскостями, равны
• Два угла с соответственно параллельными и одинаково направленными сторонами равны и лежат в параллельных плоскостях

Признак

• Если плоскость α параллельна каждой из двух пересекающихся прямых, лежащих в другой плоскости β, то эти плоскости параллельны

Аналитическое определение

Если плоскости

$A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_{1}=0$ и $A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_{2}=0$

параллельны, то нормальные векторы $N_{1}(A_{1},B_{1},C_{1})$ и $N_{2}(A_{2},B_{2},C_{2})$ коллинеарны (и обратно). Поэтому условие

${\frac {A_{2}}{A_{1}}}={\frac {B_{2}}{B_{1}}}={\frac {C_{2}}{C_{1}}}$ есть необходимое и достаточное условие параллельности или совпадения плоскостей.

Пример 1

Плоскости $2x-3y-4z+11=0$ и $-4x+6y+8z+36=0$ параллельны, так как ${\frac {-4}{2}}={\frac {6}{-3}}={\frac {8}{-4}}$

Пример 2

Плоскости $2x-3z-12=0(A_{1}=2,B_{1}=0,C_{1}=-3)$ и $4x+4y-6z+7=0(A_{2}=4,B_{2}=4,C_{2}=-6)$ непараллельны, так как $B_{1}=0$, а $B_{2}\neq 0$
Замечание. Если не только коэффициенты при координатах, но и свободные члены пропорциональны, то есть если
${\frac {A_{2}}{A_{1}}}={\frac {B_{2}}{B_{1}}}={\frac {C_{2}}{C_{1}}}={\frac {D_{2}}{D_{1}}},$ то плоскости совпадают. Так уравнения $3x+7y+5z+4=0$ и $6x+14y+10z+8=0$ представляют одну и ту же плоскость.