Поверхность Дарбу

Пове́рхность Дарбу́ — двумерная поверхность в трёхмерном евклидовом пространстве $\mathbb {E} ^{3}$, на которой определен и тождественно равен нулю тензор Дарбу.

Тензор Дарбу — это трижды ковариантный симметрический тензор третьего порядка, определённый на поверхности F² с ненулевой гауссовой кривизной K в E³.

Компоненты тензора Дарбу $\Theta$ вычисляются по формулам:

$\Theta _{ijm}=\nabla _{m}b_{ij}-{\frac {b_{ij}\nabla _{m}K+b_{mi}\nabla _{j}K+b_{jm}\nabla _{i}K}{4K}},\quad i,j,m=1,2,$

где $b_{ij}$ — коэффициенты второй квадратичной формы, K — гауссова кривизна, а $\nabla _{m}b_{ij}$ и $\nabla _{m}K$ — их ковариантные производные.

К этому тензору в специальных координатах впервые пришёл Г. Дарбу.

Свойства

• Обращение в ноль тензора Дарбу характеризует поверхности Дарбу в E³ — двумерные поверхности второго порядка, не развёртывающиеся на плоскость.

• Другое важное свойство поверхностей Дарбу связано с теорией бесконечно малых изгибаний поверхностей. Так, поверхности Дарбу положительной гауссовой кривизны K>0 в E³ характеризуются тем свойством, что система уравнений бесконечно малых изгибаний на них и только на них сводится к системе уравнений Коши — Римана.

• Естественным обобщением поверхностей Дарбу являются n-мерные подмногообразия с циклически рекуррентной второй фундаментальной формой в $(n+p)$-мерных пространствах постоянной кривизны.

• Всякая циклически рекуррентная поверхность F² с ненулевой гауссовой кривизной $K$ в трехмерном евклидовом пространстве $\mathbb {E} ^{3}$ локально есть поверхность Дарбу.

• Теорема Бонне. На поверхности Дарбу в трёхмерном евклидовом пространстве вдоль каждой линии кривизны соответствующая ей главная кривизна пропорциональна кубу другой главной кривизны.